(50 darbai)
(11 puslapių)
Skaičiavimas kvadratinės paklaidos. Tinklo ėjimai. Matricos sudarymas. Vieno dydžio vienodo tikslumo daugkartinių matavimo rezultatų apdorojimas. Vieno dydžio nevienodo tikslumo daugkartinių matavimo rezultatų apdorojimas. Matavimo rezultatų tikslumo įvertinimas iš dvigubų matavimų skirtumų. Išmatuotų dydžių funkcijos tikslumo įvertinimas. Niveliacijos tinklo, turinčio vieną mazginį tašką, išlyginimas ir tikslumo skaičiavimas. Skaityti daugiau(14 puslapių)
Apskaičiuoti neapibrėžtinius integralus. Atsakymai. Apskaičiuoti apibrėžtinius integralus. Atsakymai. Rasti pirmos eilės diferencialinių lygčių bendruosius sprendinius. Rasti antros eilės diferencialinių lygčių atskiruosius sprendinius, tenkinančius nurodytas pradines sąlygas. Rasti antros eilės tiesinių nehomogeninių diferencialinių lygčių bendruosius sprendinius. Su dvilypiu integralu rasti plotą srities, apribotos duotomis kreivėmis. Apskaičiuoti dvilypį integralą, nubrėžti integravimo sritį. Apskaičiuoti kreivinį integralą, nubrėžti integravimo kelią. Skaityti daugiau(8 puslapiai)
6 variantas. Raskite kompleksinio skaičiaus realiąją ir menamąją dalis. Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine ir rodikline forma; apskaičiuokite jo n-ąjį laipsnį. Raskite kompleksinio skaičiaus šaknies visas reikšmes ir pavaizduokite jas geometriškai. Išspręskite lygtį. Skaityti daugiau(7 puslapiai)
pdf byla. 1 variantas. Išspręskite tiesinių lygčių sistema Gauso metodu. Apskaičiuokite matricos determinantą (4 eilės matrica). Išspręskite tiesinių lygčių sistemą a) atvirkštinės matricos metodu b) taikydamai Kramerio formules. Darbininko atlyginimas buvo padidintas 10%, o po kurio laiko sumažintas 5%. Keliais procentais pasikeitė darbininko atlyginimas (lyginant su pradiniu)?Išspręskite grafiškai tiesinio programavimo uždavinį. Ekonominę sistemą sudaro 2 gamintojai. Jų produkcijos paklausos vektorius c=(180; 100), o gamybos technologinė matrica A=0,25 0 0,25 0,5. Sudarykite optimalų gamybos planą arba parodykite, kad tokio plano sudaryti negalima. Duotos aibės A {1; 2; 3; 4; 5} ir B {2; 5; 8; 10}. Raskite A B, A B, AB ir BA, A×B. Žmogus padėjo į banką 20 000 Lt indėlį su 12 metine palūkanų norma. Palūkanų periodas – 4 mėnesiai. Po metų jis atsiėmė 10 000 Lt, o po antrųjų metų įnešė 5 000 Lt. Koks jo kapitalas po trejų metų (nuo sąskaitos atidarymo)? Kiek palūkanų per tą laiką susikaupė? Tarkime, kad gaminių kokybės rodiklių X ir Y koreliacinė lentelė tokia. Skaityti daugiau(8 puslapiai)
13 variantas. Matematikos kontrolinis darbas. Suintegruokite. Raskite tūrį sukinio, kurį sudaro kreivės apsuktos apie Ox ašį. Raskite plotą figūros, apribotos kreivėmis. Išspręskite diferencialines lygtis. Ištirkite eilučių konvergavimą. Raskite eilutės konvergavimo spindulį. Išskleiskite Makloreno eilute funkciją. Pirmos eilės homogeninės diferencialinės lygtys. Jų sprendimas. Pavyzdžiai. Skaityti daugiau(7 puslapiai)
Matematikos užduotys su sprendimais. 1. Kuršių nerija – Kuršių marių ir Baltijos jūros skalaujamas 97 km ilgio, siauras – nuo 400 m iki 4 km pločio – smėlio pusiasalis. Lietuvai priklauso 54 km ilgio šiaurinė pusiasalio dalis; tos dalies plotas yra 94,4 km2. Apskaičiuokite Lietuvai priklausantį Kuršių nerijos plotą hektarais. 2. 56 % Lietuvai priklausančio Kuršių Nerijos ploto sudaro draustinių teritorija, 23% - rekreacinė zona, 21% - rezervatinė zona. Kiek hektarų užima Kuršių nerijos draustinių teritorija, reakcinė ir rezervacinė zonos? (Pasinaudokite 1užduoties atsakymu.) Kiek hektarų užima Kuršių nerijos draustinių teritorija? 3. Apytiksliai 6852 ha Lietuvai priklausančios Kuršių nerijos teritorijos užima miškai. 16% miškų yra beržynai, 3%- juodalksnynai,1%- eglynai, likę miškai - tai pušynai, iš kurių 38% sudaro kalninės pušys. Kiek hektarų užima kalninės pušys? Kiek procentų visų miškų užima pušynai? 4. Apskaičiuokite Kuršių marių plotą ir jų vandenų tūrį, jei žinoma, kad marių plotas sudaro apie dalį Baltijos jūros ploto, o vandens tūris sudaro apie dalį Baltijos jūros vandens tūrio. Baltijos jūros plotas yra 386000 km2, o jos vandenų tūris yra 33000 km3. 5. Lietuvai ir Rusijai priklausančių Kuršių marių plotų santykis yra 23:65. Koks Kuršių marių plotas priklauso Lietuvai? (Pasinaudokite 4 užduoties atsakymu.) Koks Kuršių marių plotas priklauso Lietuvai? 6. Per metus visos Kuršių marių baseino upės ir upeliai į marias atplukdo vidutiniškai 1,5 karto daugiau vandens, negu jo prisirenka iš kritulių. Be to, šis kiekis yra 18,1 km3 didesnis už kiekį vandens, per Klaipėdos sąsiaurį pritekančio į marias iš jūros ir lygų 5 km3. a) Kiek kubinių kilometrų vandens per metus į marias prisirenka iš kritulių? b) Kiek kubinių kilometrų vandens per metus į marias atplukdo Kuršių marių baseino upės ir upeliai? 7. Kuršių marių vandens druskingumas yra 0,3 promilės. Kiek tonų druskos yra Kuršių mariose?( Pasinaudokite 4 užduoties atsakymu.) 8. Lietuvai priklausančioje Kuršių marių dalyje per metus leidžiama sužvejoti apytiksliai 35kg/ha žuvų. Kiek tonų žuvų čia leidžiama sužvejoti per metus?(Pasinaudokite 5 užduoties atsakymu). 9. Naudodamiesi žemėlapiu, apskaičiuokite Neringos miesto centrinės gatvės ilgį. 10. Užrašykite 1868 m. iškasto gintaro kiekį standartinės išraiškos skaičiumi. 11. Atstumas tarp Smiltynės ir Juodkrantės yra 6 km ilgesnis, negu atstumas tarp Juodkrantės ir Pervalkos. Koks yra atstumas tarp Juodkrantės ir Pervalkos, jeigu tarp Smiltynės ir Pervalkos yra 36 km? 12. Atstumas tarp Nidos ir Preilos yra 10 km, t.y. 20 % didesnis už atstumą tarp Preilos ir Pervalkos. Koks atstumas tarp Nidos ir Pervalkos? 13. Nubraižykite visų paminėtų kopų aukščio stulpelinę diagramą. Skaityti daugiau(27 puslapiai)
Matematinės statistikos savarankiški darbai Nr.58. 8 uždaviniai. Pirmas uždavinys. Uždavinio formulavimas. Žinoma n = 50 tiriamo požymio reikšmių. Sudaryti intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k = 5, ir nubrėžti santykinių dažnių histogramą. Apskaičiuoti imties vidurkį, dispersiją, patikslintąją dispersiją bei vidutinius kvadratinius nuokrypius. Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinti, pritaikius prie imčių pateiktas kontrolines sumas. Uždavinio sprendimas. Antras uždavinys. Uždavinio formulavimas. Žinoma, kad atsitiktinis dydis (a.d.) X yra normalusis. Jo parametras a nežinomas, o žinomas: yra 1a uždavinyje gautam , kuris imamas su vienu ženklu po kablelio ( neapvalinant). Turėdami imtį, kurios didumas n = 50, ir parinkę pasikliovimo lygmenį 0,99, rasti parametro a pasikliautinąjį intervalą. Žinoma, kad atsitiktinis dydis (a.d.) X yra normalusis. Turėdami imtį, kurios didumas n = 50. Taikydami 1a uždavinyje gautas ir reikšmes, parinkę pasikliovimo lygmenį 0,95, rasti parametro a pasikliautinąjį intervalą. Žinoma, kad atsitiktinis dydis (a.d.) X yra normalusis. Jo parametrai a ir nežinomi. Turėdami imtį, kurios didumas n = 50. Taikydami 1a uždavinyje gautas ir reikšmes, parinkę pasikliovimo lygmenį 0,95, rasti parametro pasikliautinąjį intervalą. Uždavinio sprendimas. Trečias uždavinys. Uždavinio formulavimas. Žinoma 50 požymių reikšmių. Atsižvelgę į 1 uždavinyje nubrėžtos santykinių dažnių histogramos pavidalą, suformuluojame neparametrinę hipotezę. Patikrinti šią hipotezę, parinkus reikšmingumo lygmenį 0,05 ir pritaikius X2 suderinamumo kriterijų. Ar teisingai apskaičiuota, pasitikrinti pritaikius prie imčių pateiktas šio uždavinio kontrolines sumas. Žinoma 50 požymių reikšmių (žr. uždavinio gale, b dalis). Apskaičiuoju imties skaitines charakteristikas. Sudarau intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k, nubrėžiu santykinių dažnių histogramą, atsižvelgiant į jos pavidalą, suformuluosiu neparametrinę hipotezę H2: t.y. a.d. X yra rodiklinis (eksponentinis). Šią hipotezę patikrinsiu, parinkęs 0,05 ir pritaikęs 2 kriterijų. Ar teisingai apskaičiavau, pasitikrinu prie imčių pateiktas kontrolines sumas. Žinoma 50 požymių reikšmių (žr. uždavinio gale, c dalis). Sudarysiu intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k, nubrėžiu santykinių dažnių histogramą, atsižvelgiant į jos pavidalą, suformuluosiu neparametrinę hipotezę H3: X U[a;b], t.y. a.d. X yra tolygusis. Šią hipotezę patikrinsiu, parinkęs 0,05 ir pritaikęs 2 suderinamumo kriterijų. Ar teisingai apskaičiavau, pasitikrinu prie imčių pateiktas kontrolines sumas. Diskretusis a.d. X – kurios nors sistemos gedimų skaičius per valandą. Per savaitę (168 valandos) gauti stebėjimo duomenys sugrupuoti ir išdėstyti didėjimo tvarka, t.y. turima tokia diskrečioji statistinė eilutė. Uždavinio sprendimas. Ketvirtas uždavinys. Uždavinio formulavimas. Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Jo parametras žinomas. Turėdami 50 normaliojo a.d. reikšmių, žinodami, kad patikrinu nulinę parametrinę hipotezę. Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Jo parametrai a ir nežinomas. Turėdami 50 normaliojo a.d. reikšmių, žinodami, kad patikrinu dvi nulines parametrines hipotezes. Žinodami, kad diskretusis a.d.). Vienas jo parametras n yra žinomas , o tikimybė p nežinoma. Žinodami įvykio A pasirodymų skaičių k, pasikliovimo lygmenį, rasti binominio skirstinio parametro p pasikliautinąjį intervalą 0,01 tikslumu. Žinodami reikšmingumo lygmenį α ir p0, patikrinu parametro p reikšmes hipotezę. Uždavinio sprendimas. Penktas uždavinys. Uždavinio formulavimas. Žinoma, kad a.d. X ir Y yra normalieji. Jų parametrai ax, ay, x ir y nežinomi. Žinomos šių a.d. imtys, kuriu didumas n. Parinkę reikšmingumo lygmenį 0,05, patikrinsiu dvi nulines parametrines hipotezes. Uždavinio sprendimas. Šeštas uždavinys. Uždavinio formulavimas. Žinoma, kad a.d. X ir Y yra normalieji. Žinomos a. d. imtys, kuriu didumas n. Reikia apskaičiuoti koreliacijos koeficientą r 10-4 tikslumu. Rasti regresijos tiesės lygtį. Parinkus pasikliovimo lygmenį 0,95, rasti koreliacijos koeficiento p pasikliautinąjį intervalą 0,01 tikslumu. Parinkus reikšmingumo lygmenį α 0,05, parinkti tik bendrąsias alternatyvas ir pritaikius reikšmingumo kriterijų: parinkus tris nulines parametrines hipotezes. Uždavinio sprendimas. Septintas uždavinys. Uždavinio formulavimas. Turima dviejų a.d. X ir Y koreliacinė lentelė. Reikia apskaičiuoti koreliacijos koeficientą r ir rasti regresijos tiesės lygtį. Parinkus pasikliovimo lygmenį 0,95, rasti koreliacijos koeficiento pasikliautinąjį intervalą 0,01 tikslumu. Parinkus reikšmingumo lygmenį 0,05 patikrinti dvi parametrines hipotezes. Uždavinio sprendimas. Aštuntas uždavinys. Uždavinio formulavimas. Turima koreliacinė lentelė. Reikia apskaičiuoti koreliacijos koeficientą r ir koreliacijos santykius. Reikia apskaičiuoti regresijos kreivių ( tiesės, hiperbolės, logaritminės kreivės (jei visi xi>0), rodiklinės kreivės) lygčių koeficientus a0 ir a1. Reikia įvertinti regresijos kreivių artumą duotiesiems taškams, kiekvienai regresijos kreivei apskaičiuodami vidutinę kvadratinę paklaidą 0,01 tikslumu. Uždavinio sprendimas. Išvada. Skaityti daugiau(7 puslapiai)
4 matricų uždaviniai su sprendimais. Kramerio metodas. Atvirkštinės matricos metodas. Ištirti lygčių sistemą. Išspręsti Gauso metodu. Patikrinimas. Skaityti daugiau(10 puslapių)
Apskaičiuoti: (A + 2BT)C; (3B + 2C)T. Apskaičiuoti determinantą. Išspręskite lygčių sistemą Gauso metodu. Išspręskite lygčių sistemą determinantų ir atvirkštinės matricos metodu. Ekonominės sistemos technologinė matrica tokis. Koks turi būti gamybos planas, kad būtų patenkinta paklausa? Skaityti daugiau(5 puslapiai)
Uždavinių su matricomis sprendimas. Determinantų skaičiavimas. Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu, atvirkštinės matricos metodu, determinantų metodu. Palūkanų skaičiavimas. Skaityti daugiau(9 puslapiai)
Tiesinės lygčių sistemos sprendimas. Atvirkštinės matricos metodu. Kramerio metodu. Tiesinių lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu. Raskite matricos X determinantą. Determinanto apskaičiavimas. Sudarykime optimalų gamybos planą. Skaityti daugiau(6 puslapiai)
Tiesinės lygčių sistemas išspręskite naudodami atvirkštinės matricos metodą; naudodami Kramerio metodą; Tiesines lygčių sistemas išspręskite naudodami Gauso metodą; Raskite matricos determinantą; Apskaičiuokite determinantą; Raskite gamybos planą, kai ūkinę sistemą sudaro du gamintojai. Skaityti daugiau(7 puslapiai)
Matricos veiksmai: sudėtis, atimtis, daugyba. Tiesinės lygčių sistemos sprendimas. Determinanto apskaičiavimas. Sudarykime optimalų gamybos planą, kai. Transporto uždavinio sprendimas. Skaityti daugiau(9 puslapiai)
Parodyti, kad matrica A yra daugianario ƒ (x) = x3 – 7x2 + 13x – 5Ε šaknimi. Sprendimas. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Kramerio ir atvirkštinės matricos metodais. Sprendimas. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodika. Išspręskite tiesinio optimizavimo uždavinį grafiniu būdu. Dviejų rūšių gaminių gamybai naudojami trys technologinių įrengimų tipai. Sudarykite gamybos planą, duodantį didžiausią pelną, jei vieno I rūšies gaminio realizacija duoda 6 Lt, o II rūšies gaminio – 2 Lt pelną. Sprendimas. Išspręsti transporto uždavinį. Sprendimas: Mažiausio elemento metodu. Tikriname. Skaityti daugiau(8 puslapiai)
Įmonė nuo tam tikros sumos sumokėjo 8% mokestį, ir tai sudarė 38600 Lt. Apskaičiuokite apmokestintą pinigų sumą. Įmonė iš banko nori paimti 1000000 Lt kreditą. Bankas siūlo sutartis. Kuri sutartis įmonei naudingesnė? Apskaičiuokite matricas 2A – B. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso-Žordano, Kramerio ir atvirkštinės matricos metodais. Skaityti daugiau(3 puslapiai)
Optimalaus gamybos plano sudarymas ir jo analizė matematiniai metodais. Įmonėje yra keturi sektoriai, kurie gamina rozetes ir jungiklius. Reikia sudaryti tokį gamybos planą, kad atidavus gaminius būtų gautas didžiausias pelnas. Uždavinio matematinį modelį nusako tiesinių nelygybių sistema. Išvada. Skaityti daugiau(4 puslapiai)
Įvadas. Uždavinio sąlyga: UAB "Valdo kompiuterinės sistemos" gamina modernius nešiojamuosius kompiuterius ir spausdintuvus. Vienam kompiuteriui pagaminti reikia – 1 900 Lt išleisti medžiagoms ir 300 Lt darbo užmokesčiui gamybos darbininkams, o vienam spausdintuvui atitinkamai – 650 ir 50 Lt. Pagamintų gaminių kainos: Kompiuterio – 3 500 Lt; Spausdintuvo – 1 200 Lt. Reikia sudaryti gamybos planą, kuris duotų didžiausią pelną, atsižvelgiant į šiuos apribojimus: Darbo užmokesčio fondas yra 150 000 Lt. Medžiagoms galima išleisti nedaugiau 1 350 000 Lt. Sprendimas. Išvados. Skaityti daugiau(7 puslapiai)
11 planimetrijos uždavinių, skirtų 9 - 11 klasės mokiniams. Sprendimai su paaiškinimais, brėžiniais. Skaityti daugiau(6 puslapiai)
Apskaičiuokite ribas. Kūrybinis darbas. Ištirkite funkcijos tolydumą, nustatykite trūkio taško rūšį. Suintegruokite. Apskaičiuokite apibrėžtinius integralus. Skaityti daugiau(21 puslapis)
Namu darbas nr.6. Užrašykite lygtį kreivės, kuri eitų per tašką (4;4) o jos bet kurio taško liestinės atkarpa esanti tarp lietimosi taško ir abscisių ašies ordinačių ašimi būtų dalinama pusiau. Materialus taškas, kurio masė m, juda tiese link centro traukdamas jį jėga, r- atstumas nuo centro. Raskite laiką per kurį taškas pasieks centrą jei jis pradės judėti, kai r=a. Raskite diferencialinės lygties su pradine sąlyga sprendinio keletą taškų šiais metodais (h=0.1): 4 taškus ketvirtosios eilės Rungės Kutos metodu; po to tęskite skaičiavimus pagal Adamso ekstrapoliacinę formulę su ketvirtosios eilės skirtumu imtinai ir raskite dar 6 taškus. Nubrėžkite gautojo sprendinio grafiką. Raskite antros eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendinį, tenkinantį duotas kraštines sąlygas (h=0,1). Nubrėžti gauto sprendinio grafiką. Raskite kubinį interpoliacinį splainą, tenkinantį natūralias kraštines sąlygas, funkcijai, apibūdintai reikšmių lentele. Nubraižykite jo grafiką. (Papildomai kiekviename intervale apskaičiuokite po du taškus). Raskite priklausomybę tarp x ir y mažiausių kvadratų metodu. Raskite suglodinantį spliną, tenkinantį natūralias kraštines sąlygas. Reikšmių lentelė. Raskite matricos tikrines reikšmes ir tikrinius vektorius Krylovo metodu. Raskite matricos tikrines reikšmes ir tikrinius vektorius Jakobio metodu. Į vykdykite 4 iteracijas. Lydinyje turi būti ne mažiau kaip p proc nikelio ir ne daugiau kaip q proc geležies. Lydinys sudarytas iš Ž1, Ž2 ir Ž3. Žaliavų kainos nurodytos lentelėje. Nustatyti tokią įkrovos sudėti, kad 1 kg lydinio būtų pigiausias. Skaityti daugiau
