Tikimybių teorija (14)

Savo pavardės raides atsitiktinai sudėkite į eilę. Kokia tikimybė, kad gausite savo pavardę? Sprendimas. Viso raidžių 8. Išspręskite: n žmonių atsitiktinai sodinami už apvalaus stalo. Apskaičiuokite tikimybę, kad du žmonės A ir B atsisės greta. Sprendimas. Atkarpoje, kurios ilgis m, atsitiktinai žymime tašką. Kokia tikimybė, kad šio taško atstumas iki atkarpos galų bus didesnis už ? Sprendimas. Ryšio kanalu nepriklausomai vienas nuo kito siunčiami trys signalai. Jų teisingumo (be klaidų) priėmimo tikimybės yra p1 = 0,65, p2 = 0,70 ir p3 = 0,70. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes. Sprendimas. Pirmoje urnoje yra m1 = 1 baltų ir n1 = 2 juodų, antroje – m2 = 3 baltų ir n2 = 1 juodų, o trečioje – m3 = 2 baltų ir n3 = 2 juodų rutulių. Iš pirmos urnos traukiame k1 = 1, o iš antros – k2 = 2 rutulių ir dedame į trečią urną, o po to iš trečiosios urnos traukiame vieną rutulį. Kokia tikimybė, kad jis bus baltas? Sprendimas. Du žaidėjai vienas po kito (A – pirmas, B – antras) traukia po vieną rutulį (grąžinamoji imtis) iš urnos, kurioje yra m = 2 baltų ir n = 1 juodų rutulių. Laimi tas, kuris pirmas ištraukia baltą rutulį. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes. Palyginkite žaidėjų A ir B laimėjimų galimybes, kai žaidimas begalinis. Sprendimas. Radijo aparatūra sudaryta iš n=400 elektroelementų. Vieno elemento sutrikimo per metus tikimybė lygi p = 0,01 ir nepriklauso nuo kitų elementų būsenos. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes: a) per metus sutriko m = 2 elementų, b) per metus sutriko ne mažiau kaip m = 2 elementų. Sprendimas. Atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį pasiskirstymo dėsnį, o jo parametrai yra m ir s. Apskaičiuokite tikimybes P(a £ X £ b), P(|X| > b). Užrašykite 2s taisyklę ir paaiškinkite jos geometrinę ir praktinę prasmes. Čia: m = 4, s = 1, a = 3, b = 5. Sprendimas. Parinkite parametrą g tokį, kad p(x) būtų tankio funkcija (grafikas). Užrašykite pasiskirstymo funkcijos analizinę išrašką, nubraižykite jos grafiką. Apskaičiuokite vidurkį, dispersiją ir tikimybę. Sprendimas. Atsitiktini dydžio X tankis yra px(x). Užrašykite dydžio Y pasiskirstymo funkciją Fy(y), tankį py(y) ir apskaičiuokite vidurkį MY, jei Y – lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė X, plotas. Atsitiktinio dydžio X tankis apibrėžtas 12 užduotyje. Apskaičiuokite dydžio Y vidurkį ir dispersiją Duota seka nepriklausomų atsitiktinių dydžių X1, X2, Xk. Dydis Xk su vienodomis tikimybėmis gali įgyti tik dvi reikšmes ka arba -ka. Ar galioja šiai sekai didžiųjų skaičių dėsnis, kai parametras a = a1, a2? Jeigu galioja, užrašykite jį. Čia a1 = -7,5, a2 = 0,07. Sprendimas. Užrašykite imties dažnį ir santykinių dažnių pasiskirstymo eilutes. Apskaičiuokite skaitines imties charakteristikas. Nubrėžkite empirinės pasiskirstymo funkcijos ir santykinių dažnių histogramos grafikus. Atsižvelgdami į santykinių dažnių histogramos formą ir skaitines imties charakteristikas, iškelkite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo hipotezę. Raskite taškinius pasiskirstymo dėsnio parametrų įverčius (momentų arba maksimalaus tikėtinumo metodais). Pasinaudodami c2 arba Kolmogorovo suderinamumo kriterijais, patikrinkite neparametrinę empirinės pasiskirstymo funkcijos suderinamumo su teorine hipotezę. Paaiškinkite gautus rezultatus. Užrašykite generalinės aibės pasiskirstymo ir tankio funkcijų išraiškas. Sprendimas.