Matematikos užduotys, jų sprendimai. 1. Iš banko pasiskolinta 2400 Lt su 8% pastoviųjų metinių palūkanų norma. Paskolą reikia gražinti per du metus, kas pusmetį mokant po 600 Lt ir palūkanas. Apskaičiuokite, kiek litų teks mokėti bankui kas pusmetį. 2. Kubo sienos plotas yra 4 cm2. Raskite kubo tūrį. 3. Lygčių sprendimai. 4. Sinusų/kosinusų skaičiavimai. 6. Suraskite trikampio kraštinę b ir kampus A, B, kai duota kraštinė a=18; c=25; kampas C=80o. 7. Nelygybės. 8. Apskaičiuokite perimetrą keturkampio ABCD, kai AE=6cm, PABE=14cm, BE=AB. 10.Tėvai leido Grytei pasirinkti tik vieną užklasinio darbo formą. Mokykloje veikia 5dalykiniai būreliai, 3 sporto sekcijos ir 2 darbščiųjų rankų būreliai. Kiek galimybių pasirinkti turi Grytė? Skaityti daugiau
Matematika (22)Matematika, špera
(4 puslapiai)
Funkcijos apibrėžimas, atvirkštinė funkcija, funkcijos monotoniškumas ir apibrėžtumas. Racionaliosios, laipsninės, rodiklinės ir logaritminės funkcijos. Trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Funkcijos ribos apibrėžimai. Nykstančios funkcijos. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens ribos. Seka ir jos riba. Skaičius e. Funkcijos tolydumas taške. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens tolydumas. Funkcijos pastovumo požymis. Funkcijos didėjimas ir mažėjimas. Funkcijos ekstremumai. Kritinių taškų tyrimas. Kreivės iškilumas ir vingio (persilenkimo) taškai. Lopitalio taisyklė. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtas integralas. Neapibrėžtinio integralo savybės. Kintamojo keitimas neapibrėžtame integrale. Neapibrėžtinio integralo integravimas dalimis. Apibrėžtinio integralo sąvoka. Matrica. Matricos rangas. Skaityti daugiau
Matematika (23)Matematika, testas
(10 puslapių)
103 klausimų matematikos testas su teisingais atsakymais. Skaityti daugiau
Matematika (24)Matematika, konspektas
(13 puslapių)
Laipsnis. Laipsnis su naturaliuoju rodikliu. Laipsnių su vienodais pagrindais daugyba ir dalyba. Sandaugos, trupmenos ir laipsnio kėlimas natūraliuoju laipsniu. Laipsnis su sveikuoju neigiamuoju rodikliu. Laipsnių su sveikuoju rodikliu veiksmai. Standartinė skaičiaus išraiška. Kvadratinė šaknis. Kas yra kvadratinė šaknis? Kvadratinė šaknis iš sandaugos ir trupmenos. Kvadratinė šaknis iš a². Reiškinių su kvadratinėmis šaknimis pertvarkymas. Reiškinių pertvarkymas. Tapatūs reiškinių pertvarkymai. Tapatybė. Vienanariai ir daugianariai. Jų daugyba. Dviejų narių sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulės. Dviejų narių skirtumo ir jų sumos sandaugos formulė. Bendro dauginamojo iškėlimas prieš skliaustus. Daugianarių skaidymas dauginamaisiais grupavimo būdu. Daugianarių skaidymas dauginamaisiais taikant greitosios daugybos formules. Pitagoro teorema. Atvirkštinė Pitagoro teorema. Atstumas nuo taško iki tiesės. Trikampio nelygybė. Erdviniai kūnai. Piramidė. Sukiniai. Ritiniai. Statistika. Statistinių duomenų pateikimo būdai. Imtis. Imties vidurkis, mediana. Didžiausi ir mažiausi imties duomenys. Imties plotis. Duomenų grupavimas. Bandymai ir jų baigtys. Kuris įvykis tikėtinesnis? Tiesinės nelygybės. Tiesinė lygtis. Skaičių ir reiškinių palyginimas. Skaitinių nelygybių savybės. Skaičių intervalai. Nelygybių sprendimas. Nelygybių sistemos. Simetrija. Simetrija tiesės atžvilgiu. Simetrija taško atžvilgiu. Simetriškos figūros. Atkarpos vidurio statmens ir kampo pusiaukampinės savybės. Tiesioginis ir atvirkštinis proporcingumas. Dviejų dydžių tarpusavio priklausomybė. Funkcija. Dviejų dydžių tiesioginis ir atvirkštinis proporcingumas. Figūrų didinimas ir mažinimas. Matavimas ir paklaidos. Apytikslės dydžių reikšmės. Absoliučioji paklaida. Santykinė paklaida. Matavimo tikslumas. Matavimo vienetų sąryšiai. Gamyba ir prekyba. Prekės kaina. Antkainis.Pajamos. Pelnas. Nuolaida. Skaityti daugiau
Matematika (25)Matematika, uždavinys
(6 puslapiai)
Matematikos uždaviniai (du variantai po 9 uždavinius). Sprendimai ir atsakymai. Skaityti daugiau
Matematika (26)Matematika, špera
(5 puslapiai)
Pagrindinės vektorių sąvokos. Veiksmai. Vektorių projekcijos ir jų savybės. Savybės. Vektorių sandauga. Trijų vektorių mišri sandauga. Kampas tarp dviejų plokštumų, statmenumo ir lygiagretumo sąlyga. Kampas tarp tiesės erdvėje R3. Kampas tarp tiesės ir plokštumos. Bendroji tiesės lygtis erdvėje R2. Kampas tarp dviejų tiesių. Taško atstumas iki tiesės. Bendroji plokštumos lygtis. Taško atstumas iki plokštumos. Tiesės erdvėje R3 kanoninės ir parametrinės lygtys. Lygtis tiesės einančios per 2 duotus plokštumos taškus. Apskritimas. Elipsė. Hiperbolė. Parabolė. Polinė koordinačių sistema. Skaičių seka ir jos riba. Monotoninės ir aprėžtos sekos. Skaičius e. Funkcijos riba taške. Vienpusės ribos. Funkcijos riba begalybėje. Neapibrėžtai didėjančios funkcijos. Aprėžtos funkcijos. Nykstančios funkcijos, jų savybės. Nykstamų funkcijų palyginimai. Tolydžios funkcijos. Funkcijos trūkio taškai. Skaityti daugiau
Matematika (27)Matematika, konspektas
(19 puslapių)
Algebra. Dalumo požymiai. Apytiksliai skaičiavimai. Apytikslio skaičiavimo formulės. Trupmenos. Proporcijos. Vidurkiai. Teigiamojo sveikojo skaičiaus standartinė išraiška. Realiojo skaičiaus modulis ir jo savybės. Atstumo tarp koordinačių tiesės taškų radimo formulė. Laipsniai. Aritmetinė šaknis ir jos savybės. Logaritmai. Trumposios daugybos formulės. Kvadratinis trinaris. Kvadratinės lygtys. Bikvadratinės lygtys. Determinantas. Kramerio taisyklės. Aritmetinė progresija. Geometrinė progresija. Trigonometrija. Kai kurių trigonometrinių funkcijų reikšmės. Trigonometrinių funkcijų ženklai ketvirčiuose. Formulės, siejančios to paties argumento trigonometrines funkcijas. Redukcijos formulės. Argumentų sudėties formulės. Vienų trigonometrinių funkcijų išreiškimas kitomis. Kartotinio argumento formulės. Trigonometrinių funkcijų išreiškimas pusės argumento tangentu. Trigonometrinių funkcijų sumos bei skirtumo keitimo sandauga formulės. Laipsnio žeminimo formulės. Trigonometrinių funkcijų sandaugos keitimo suma formulės. Pusės argumento trigonometrinės funkcijos. Kitos formulės. Trigonometrinės lygtys. Kombinatorika. Faktorialas. Gretiniai. Gretiniai su pasikartojimais. Kėliniai. Kėliniai su pasikartojimais. Deriniai. Deriniai su pasikartojimais. Niutono binomas. Įvykių tikimybė. Sąlyginė tikimybė. Atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinio dydžio matematinė viltis (vidurkis). Funkcijos išvestinė, pirmykštė funkcija ir integralas. Funkcijos išvestinės apibrėžimas. Elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė. Išvestinių skaičiavimo taisyklės. Pirmykštė funkcija. Kai kurių pirmykščių funkcijų radimo lentelė. Apibrėžtinis integralas. Geometrija. Apskritimo ilgis. Skritulio plotas. Apskritimo lanko, atitinkančio centrinį kampą, ilgis, stygos ilgis. Skritulio išpjovos plotas. Trikampių lygumo požymiai. Kosinusų teorema. Trikampio ploto skaičiavimo formulės. Statusis trikampis. Stačiakampis. Lygiagretainis. Rombas ir kvadratas. Trapecija. Prizmė. Stačiakampis gretasienis. Kubas. Piramidė. Ritinys. Kūgis. Sfera. Rutulys. Metrinė matų sistema. Ilgio matavimo vienetai. Skaityti daugiau
Matematika (28)Matematika, špera
(6 puslapiai)
Apibrėžtinis integralas. Jo geometrinė interpretacija. Apibrėžtinio integralo savybės. Teorema apie integralą su kintamu rėžiu. Niutono-Leibnico formulė. Kintamojo pakeitimas apibrėžtiniame integrale. Integravimas dalimis. Netiesioginiai integralai. Kreivinės trapecijos plotas. Kreivinio sektoriaus plotas polinėse koordinatėse. Kreivės lanko ilgis stačiakampėje koordinačių sistemoje. Kreivės lanko ilgis, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Kreivės lanko ilgis, polinėse koordinatėse. Sukinio tūris. Sukinio ploto radimas. Dvilypis integralas. Jo savybės. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu. Kintamojo pakeitimas dvilypiame integrale. Kreivinių integralų skaičiavimas. Tiesinės I eilės diferencialinės lygtys. Bernulio lygtis. Lygtis pilnais diferencialais. Teigiamųjų skaičių eilučių konvergavimo požymis (Dalamberas, Koši, palyginimas). Alternuojančiųjų skaičių eilutė. Leibnico požymis. Laipsninių eilučių konvergavimo sritis. Funkcijų skleidimas laipsninėmis eilutėmis. Skaityti daugiau
Matematika (29)Matematika, špera
(10 puslapių)
Simetrinės matricos. Transponuota matrica. Vektorių skaliarinė sandauga ir ortogonalieji vektoriai. Apibrėžimas. Skaliarinė sandauga. Košy-Buniakovskio nelygybe. Apibrėžimas. Simetrinės matricos tikrinės reikšmės ir tikriniai vektoriai. Matricų diagonalizavimas. 1 uždavinys apie panašias matricas. Matricos diagonalizavimas. Apibendrinimai. Blokinės matricos. Žardano matrica. Kvadratinės formos. Kvadratinės formos apibrėžimas. Kvadratinės formos kanoninis pavidalas. Kanoninis pavidalas. Relėjaus santykis. Vektorių ir matricų normos. Vektorių norma. Matricų funkcijos. Vienas apibendrinimas. Skaityti daugiau
Matematika (3)Matematika, konspektas
(16 puslapių)
Funkcijos y = f(x) integralinės (Rymano)sumos atkarpoje [a;b] apibrėžimas. Apibrėžtinis integralas. Apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė. Niutono ir Leibnico formulė. Kreivės lanko ilgio apskaičiavimas. Stačiakampės koordinatės. Netiesioginiai integralai su begaliniais rėžiais ir jų konvergavimo požymiai. Trukiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimai ir konvergavimo požymiai. Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje. Pirmojo ir antrojo tipo kreivinis integralas. Kintamos jėgos darbo apskaičiavimas. Pirmos eilės diferencialinių lygčių bendrosios sąvokos. Koši uždavinys. Sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremos formuluotė. Pirmos eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys ir jų sprendimas. Bernulio lygtis. Skaityti daugiau
Matematika (30)Matematika, špera
(11 puslapių)
Diferencialinės lygtys. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Pagrindinės sąvokos. Diferencialinės lygtys su atskiriamaisiais kintamaisiais. Homogeninės diferencialinės lygtys. Tiesinės diferencialinės lygtys. Antrosios eilės diferencialinės lygtys. Pagrindinės sąvokos. Apibrėžimas. Antrosios eilės diferencialinių lygčių atskiri atvejai. Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys. Bendrosios sąvokos. Apibrėžimas. Tiesiškai nepriklausomų sprendinių savybės. Bendrojo sprendinio struktūra. Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys. Konstantų varijavimo (Lagranžo) metodas. Nedetalizuotas lygties sprendimo planas. Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais. Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialine lygtys su pastoviaisiais koeficientais. Neapibrėžtųjų koeficientų metodas. Lygties sprendimo planas. Diferencialinių lygčių sistemų pagrindinės sąvokos. Pirmosios eilės tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviaisiais koeficientais sistemos. Skaityti daugiau
Matematika (31)Matematika, uždavinys
(10 puslapių)
Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu. Apskaičiuokite matricos determinantą. Tiesinių lygčių sistema atvirkštinės matricos metodu. Tiesinių lygčių sistema Gauso metodu. Tiesinių lygčių sistema taikant Kramerio metodu. Pavaizduokite grafiškai nelygybių sistemos sprendinių aibę. Išspręskite grafiškai tiesinio programavimo uždavinį. Dviejų gamintojų ekonominė matrica. Jei cukriniuose runkeliuose yra 20% cukraus, tai norint gauti 60 t. cukraus, runkelių reikės. Skaityti daugiau
Matematika (32)Matematika, špera
(6 puslapiai)
Kompleksinio skaičiaus algebrinė forma. Kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma. Šaknis iš kompleksinio skaičiaus. Kompleksinių skaičių aibė. Kompleksinio kintamojo funkcija. Kompleksinio kintamojo funkcijos riba. Funkcijos diferencijuomumas. Analizine funkcija. Harmonines funkcijos. Kompleksinio kintamo funkcijos. Kompleksinės funkcijos integralas. Koši teorema vienjungei sričiai. Koši teorema daugiajungei sričiai. Koši teoremos. Koši integralinė formulė. Koši integralo apibendrinimas. Kompleksinių skaičių eilutės. Kompleksinių funkcijų eilutės. Laipsninės eilutės. Teiloro teorema. Laipsninė eilutė. Analizinės funkcijos nuliai. Lorano eilutės. Lorano teorema. Izoliuotieji taškai. Rezidiumai. Furjė transformacijos. Skaityti daugiau
Matematika (34)Matematika, konspektas
(12 puslapių)
Dviejų vektorių vektorinė sandauga. Apibrėžimas. Žymėjimas. Savybės. Reiškimas vektorių koordinatėmis. Geometrinė prasmė. Trijų vektorių mišrioji sandauga. Apibrėžimas. Geometrinė prasmė. Savybės. Reiškimas vektorių koordinatėmis. Bendroji plokštumos lygtis. Išvedimas. Atskiri plokštumos lygties atvejai. Taško atstumas iki plokštumos. Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinių lygčių išvedimas. Bendroji tiesės lygtis ir jos suvedimas į kanoninę lygtį. Elipsės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, parametrai ir jų prasmė, kiti elipsės atvejai. Apibrėžimas. Lygties išvedimas. Brėžinys. Parametrai. Kiti elipsės atvejai. Hiperbolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, asimptotės, parametrai ir jų prasmė, kiti hiperbolės lygties atvejai. Apibrėžimas. Kanoninė lygtis. Brėžinys. Parametrai. Kiti atvejai. Parabolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, kiti parabolės atvejai. Apibrėžimas. Kanoninė lygtis. Brėžinys. Kiti atvejai. Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas, jos egzistavimo sąlyga. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimas, jų savybės ir grafikai. Apibrėžimas. Egzistavimas. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Funkcijos ribos taške apibrėžimas ir geometrinė ribos prasmė. Apibrėžimas. Geometrinė prasmė. Vienpusės funkcijos ribos. Apibrėžimas. Pvz. Nykstamos funkcijos apibrėžimas. Įrodykite teoremą apie funkcijos, jos ribos ir nykstamos funkcijos sąryšį. Apibrėžimas. Teorema. Įrodymas. Ribų dėsniai. Teorema. Dėsniai. Trečio dėsnio įrodymas. Nykstamų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamos funkcijos. Apibrėžimas1. Apibrėžimas2. Apibrėžimas3. Ekvivalenčios nykstamos funkcijos. Funkcijos tolydumo taške sąvoka (trys apibrėžimai su paaiškinimais). Apibrėžimas1. Apibrėžimas2. Apibrėžimas3. Apibrėžimas4. Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės. Apibrėžimas. 1 teorema. 2 teorema. 3 teorema. Funkcijos trūkio taškų klasifikacija (su brėžiniais). Bendras apibrėžimas. Apibrėžimas1. Apibrėžimas2. Apibrėžimas3. Skaityti daugiau
Matematika (35)Matematika, uždavinys
(12 puslapių)
Mokytoja ir mokytoja metodininkė turi vienodą darbo stažą – po 7 metus. Kiek mažiau uždirba mokytoja už mokytoją metodininkę, jeigu abi turi po 22 savaitines pamokas? Kiek litų didesnį atlyginimą gauna mokytoja ekspertė už paprastą mokytoją, jeigu abiejų stažas po 14 metų ir abi turi po 20 savaitinių pamokų pradinėse klasėse? Mokyklos direktoriaus atlyginimas yra 8,5 BMA. Kokį gauna direktorius atlyginimą turėdamas metodininko kvalifikaciją, 11 metų stažą ir 8 savaitines pamokas? Dalykinėje sistemoje dirbančios mokytojos, kurios stažas 17 metų, pagrindinis atlyginimas 931Lt. Koks jos savaitinis pamokų krūvis? Kiek skiriasi gaunamas atlyginimas pradinių klasių mokytojos, turinčios 5 metų stažą , nuo mokytojos, turinčios 15 metų darbo stažą, jeigu abi turi po 20 savaitinių pamokų? Kokį atlyginimą gauna mokyklos direktoriaus pavaduotojas, turintis 11 metų stažą ir 8 pamokas, jei jo atlyginimas yra 7,65 BMA? Su kelių paprastųjų procentų palūkanomis buvo paskolinti pinigai, jei reikėjo mokėti tokia palūkanas? Laikas čia skaičiuojamas pagal taisyklę "30/360". Kokiomis periodinėmis įmokomis R galima grąžinti kreditą B, jei įmokos mokamos m kartų per metus kiekvieno periodo pradžioje? Kokią sutaupysime finansinę renta S, jei įmokos C mokėsime kiekvienų metų gale? Skaityti daugiau
Matematika (36)Matematika, namų darbas
(12 puslapių)
Matematikos namų darbas. Uždavinių sprendimai Gauso metodu, Kramerio formulės, matricos determinantas, atvirkštinės matricos metodas, grafiška nelygybių sistemos sprendinių aibė, tiesinio programavimo uždavinys, Leontjevo ekonominė sistema, aibių sankirta, sąjunga, skirtumas. Skaityti daugiau
Matematika (37)Matematika, namų darbas
(4 puslapiai)
Raskite visas šaknies reikšmes ir pažymėti kompleksinėje plokštumoje. Išreikškite kompleksinį skaičių algebrine forma. Apskaičiuoti kompleksinio kintamojo funkcijos integralą. Taikydami "Koši integralų teoremą" arba "Koši integralinę formulę" apskaičiuoti integralą. Raskite eilutės konvergavimo sritį. Raskite funkcijos ypatingus izoliuotus taškus ir ištirkite jų tipus. Skaityti daugiau
Matematika (38)Matematika, uždavinys
(8 puslapiai)
Apskaičiuokite determinantą. Išspręskite matricinę lygtį AX=B. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą pagal Kramerio formules ir atvirkštinės matricos metodu. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu. Apskaičiuokite lygiagretainio ABCD plotą, jei A (2;0;1), B (3;1;-1) ir C (-1;2;-3). Parašykite lygtį tiesės, einančios per tašką A(4;3) ir per tiesių 2x+5y-8=0 ir x-3y+4=0 susikirtimo tašką. Elipsės židiniai yra taškuose..., o ekscentricitetas lygus... Parašykite jos kanoninę lygtį. Raskite parabolės ir tiesės 9x-2y+2=0 susikirtimo taškų koordinates. Skaityti daugiau
Kas yra matematika? Skaičiavimas raidžių pagalba. "Magiškieji" Skaičiai. Azartiniai žaidimai ir… tikimybių teorija. Nuo skaitytuvų iki ESM. Matematika ir literatūra. Dar keletas uždavinių, tapusių legendomis. Begalybė ir matematika. Skaityti daugiau
