Matematikos teoremos ir jų įrodymaiMatematika, konspektas
(11 puslapių)
Vijeto teorema. Trikampio kampų suma. Sinusų teoremos įrodymas. Kosinusų teorema. Trikampio plotai. Pitagoro teorema. Pitagoro teoremai atvirkštinė teorema. Stačiakampio savybės. Stačiakampio įstrižainės lygios. Rombo savybės. Kvadrato savybės. Lygiagretainio savybės. Trapecijos savybės. Lygiagretainio ir trapecijos plotų formulės Lygiagretainis. Trapecija. Argumentų trigonometrinės sumos ir skirtumo formulės. Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo keitimo sandauga formulės. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (13)Matematika, konspektas
(12 puslapių)
Aibių Dekarto sandauga. Koši nelygybė (su įrodymu). Atstumas tarp taškų. Savybės. Vektoriaus norma. Savybės. Vektorių suma, skirtumas, sandauga iš skaičiaus. Skaliarinė sandauga. Savybės. N-matė Euklido erdvė. Taško aplinka. Ribinis ir vidinis aibės taškai. Uždaroji ir atviroji aibės. Jungioji aibė. Aprėžtoji aibė. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka. Lygio linija. Lygio paviršius. Elipsoidas. Hiperboloidai (vienašakis, dvišakis, kūgis). Elipsinis paraboloidas. Hiperbolinis paraboloidas. Cilindriniai paviršiai (elipsinis, parabolinis, hiperbolonis cilindrai). Ribos apibrėžimas selų kalba. Ribos apibrėžimas kalba. Kartotinės ribos. Daugialypės ribos. Teorema apie kartotinių ir dvilypės ribos sąryšį. Tolydžiosios funkcijos apibrėžimas sekų ir kalba. Trūkio taško apibrėžimas. Operacijos su tolydžiomis funkcijomis. Sudėtinės funkcijos tolydumas. Tarpinės funkcijos reikšmės teorema. Apibrėžtumo teorema. Dalinis funkcijos pokytis. Dalinės išvestinės apibrėžimas. Teorema apie homogeninę p laipsnio funkciją (Oilerio teorema). Kelių kintamųjų funkcijos dalinių išvestinių geometrinė prasmė. Funkcijos pilnojo pokyčio apibrėžimas. Teorema apie funkcijos pokyčio išraišką. Teorema apie funkcijos tolydumo sąlygas (argumentų pokyčių artėjimas į nulį). Diferencijuojamos taške fukcijos apibrėžimas. Funkcijos pilnojo diferencialo apibrėžimas. Būtina funkcijos diferencijuojamumo sąlyga (su įrodymu). Pakankama funkcijos diferencijuojamumo sąlyga. Glodžios funkcijos apibrėžimas. Pilnojo diferencialo taikymas paklaidų įvertinimui. Sudėtinės kelių kintamųjų funkcijos z=f(x,y) išvestinė, kai x=x(t) ir y=y(t). Sudėtinės kelių kintamųjų funkcijos z=f(x,y) išvestinė, kai x=x(u,v) ir y=y(u,v). Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas. Neišreikštinės kelių kintamųjų funkcijos diferencijavimas. Funkcijos z=f(x,y) antros eilės dalinės išvestinės. Teorema apie antros eilės mišrių dalinių išvestinių sutapimą. Aukštesnės nei antros eilės dalinės išvestinės. Funkcijos z=f(x,y) antros eilės diferencialas. Funkcijos z=f(x,y) aukštesnės nei antros eilės diferencialai. Funkcijos z=f(x,y), kai x=x(u,v) ir y=y(u,v) antros eilės diferencialas. Teiloro formulė su Lagranžo formos liekamuoju nariu funkcijai z=f(x,y). Teiloro formulės taikymas. Funkcijos lokaliojo maksimumo taško apibrėžimas. Funkcijos lokaliojo minimumo taško apibrėžimas. Funkcijos kritinių (stacionarių) taškų apibrėžimas. Būtinos ektremumo egzistavimo sąlygos. Ekstremumų nusakymas iš funkcijos išraiškos. Analizinė geometrinių uždavinių interpretacija. Teorema apie ekstremumo taškus pagal antrąsias dalines išvestines. Silvesterio kriterijus trijų kintamųjų funkcijai ekstremumo egzistavimo kritiniame taške pakankamos sąlygos. Sąlyginių ekstremumų apibrėžimas. Funkcijos maksimumo ir minimumo taškai. Keturių kintamųjų funkcijos sąlyginio ekstremumo radimo suvedimas į dviejų kintamųjų funkcijos lokalaus ekstremumo radimą (paaiškinti). Sąlyginių ekstremumų paieška. Lagranžo neapibrėžtinių daugiklių metodas. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje srityje. Krypties kosinusai. Funkcijos gradiento apibrėžimas. Funkcijos kryptinė išvestinė. Kreivės liestinė (išvedimas). Normalinė plokštumos lygtis. Kreivės liestinės taške krypties vektorius. Paviršiaus liečiamosios plokštumos lygtis. Kanoninė normalės lygtis. Normalės lygtis, kai paviršius apibrėžtas neišreikštine lygtimi F(x,y,z)=0. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (14)Matematika, konspektas
(8 puslapiai)
Kartotiniai integralai. Dvilypis integralas. Kvadruojamos figūros. Dvilypio integralo sąvoka. Dviejų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Dvilypis integralas. Teorema apie funkcijos integruojamą uždaroje srityje. Dvilypio integralo savybės. Dvilypio integralo paprasčiausios savybės (apie konstantą, sumą, skirtumą). Jei integravimo sritis yra dviejų sričių sąjunga. Funkcijos modulio integruojamumas. Integralo rėžiai. Dvilypio integralo apskaičiavimas. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra stačiakampis. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivinė trapecija. Trilypis integralas. Trilypio integralo samprata. Trijų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Trilypis integralas. Kintamųjų keitimas dvilypiuose integraluose. Jakobianas. Kintamųjų keitimas dvilypiame integrale. Kintamųjų keitimas trilypiame integrale. Jakobianas. Kintamųjų keitimas trilypiame integrale. Kintamųjų keitimas polinėje koordinačių sistemoje. Kintamųjų keitimas polinėje koordinačių sistemoje. Kai kurie kiti kintamųjų keitimo atvejai trilypiame integrale. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis polinėmis (cilindrinėmis) koordinatėmis. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis sferinėmis koordinatėmis. Kartotinių integralų taikymai. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas išreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas neišreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas parametrinėmis lygtimis. Trilypio integralo taikymas kūno tūriui apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno masei apskaičiuoti. Kreiviniai integralai. Kreiviniai integralai. Kreiviniai integralai. Pirmojo tipo kreivinis integralas. Pirmojo tipo kreivinis integralas. Pirmojo tipo kreivinio integralo savybės. Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas. Kreivės lygtis. Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivė apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje. Antrojo tipo kreiviniai integralai. Antrojo tipo kreivinis integralas. Antrojo tipo kreivinio integralo savybės. Antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas. Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivinių integralų sąryšis. Kreivinių integralų sąryšis. Kreivinis integralas, nepriklausantis nuo integravimo kelio. Gryno–Ostrogradskio formulė. Kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlyga. Kreivinio integralo, nepriklausančio nuo integravimo kelio, ryšys su funkcijos pilnuoju diferencialu. Kreivinių integralų taikymai. Cilindro paviršiaus plotas. Kreivės lanko ilgis. Plokščios figūros plotas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (15)Matematika, konspektas
(20 puslapių)
Funkcijos f(z) kreivinis integralas glodžiąja kreive. Kompleksinio kintamojo funkcijos f(z) pirmykštė funkcija. Koši integralinė teorema. Koši integralinė teorema bet kuria uždarąja kreive. Sudėtinio kontūro teorema. Koši integralinė formulė. Koši tipo integralas. Koši nelyginės. Koši integralinės teoremos atvirkštinė teorema. Tolygiai konverguojančių eilučių savybės. Tolygaus konvergavimo srityje D požymis. Vejerštraso teorema apie tolygiai konvertuojančias analizinių funkcijų eilutes. Laipsninė eilutė vadinama funkcijų eilutė, kurios nariai – laipsninės funkcijos. Koši ir Adamaro teorema laipsninėms eilutėms. Analizinės skritulyje funkcijos Teiloro eilutė. Koši ir Liuvilio teorema. Analizinės funkcijos jos A-taškas ir nuliai. Lorano eilutė. Lorano teorema. Vienareikšmės funkcijos ypatingieji taškai. Funkcijos reziduumai, reziduumų teoremos. Reziduumų skaičiavimo formulės. Logaritminis reziduumas, argumento principas. Rušė ir Hurvici teoremos. Reziduumų taikymas integralų skaičiavimui. Sveikosios Funkcijos didėjimo eilė ir tipas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (2)Matematika, konspektas
(4 puslapiai)
Vienareikšmės funkcijos ypatingieji taškai. Ypatingųjų taškų klasifikacija. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (4)Matematika, konspektas
(15 puslapių)
Skaičių eilutė, skaičių eilutės konvergavimas. Teigiamoji eilutė, absoliučiai konverguojanti eilutė. Teigiamų eilučių konvergavimo požymiai. Dalambero ir Koši konvergavimo požymiai. Eilutės Koši-Makloreno konvergavimo požymis. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojančios skaičių eilutės. Rymano teorema. Absoliučiai konverguojančios eilutės. Koši teorema. Bet kokių eilučių konvergavimas. Leibnico požymis. Bet kokių eilučių konvergavimas. Dirichlė-Abelio požymis. Funkcijų eilučių ir sekų konvergavimas. Funkcijų sekų tolygaus konvergavimo požymis. Funkcijų eilutės Dirichlė-Abelio ir vejerštraso požymiai. Funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Dinio požymis. Tolygiai konverguojančių funkcijų eilučių ir sekų ribų teoremos. Funkcijų sekos ir eilučių integravimas panariui. Funkcijų sekos ir eilučių diferencijavimas panariui. Laipsninės eilutės. Koši-Ademaro teorema. Laipsninės eilutės konvergavimas. Laipsninės eilutės diferencijavimas ir integravimas. Funkcijų reiškimas laipsnine eilute. Funkcijų reiškimas laipsnine eilute. Vejerštraso teorema. Dvilypio integralo apibrėžimas. Dviejų kintamųjų funkcijų integruojamumas stačiakampyje. Dviejų kintamųjų funkcijų integruojamumas bet kokioje srityje. Dvilypio integralo savybės. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu vienlypiu integralu stačiakampyje. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu kai sritis nėra stačiakampis. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (8)Matematika, konspektas
(9 puslapiai)
Funkcijos apibrėžimas ir jos išreiškimo būdai. Lyginė, nelyginė funkcija. Didėjanti, mažėjanti funkcija. Aprėžtos funkcijos. Atvirkštinė funkcija. Funkcijos riba. Nykstamos (nykstamai mažėjančios) funkcijos. Nykstamai mažėjančių funkcijų savybės. Sumos, sandaugos ir dalmens ribos. Funkcijų ribų egzistavimo požymis. Neapibrėžtumai. Nykstamai mažėjančių funkcijų palyginimas. Seka ir jos riba. Sekos ribos egzistavimo požymiai. Funkcijos tolydumas ir trūkio taškai. Tolydumas ir trūkio taškai. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens tolydumas. Tolydinių funkcijų savybės uždarame intervale [a,b]. Funkcijos išvestinė. Jos ekonominė, geometrinė, mechaninė prasmė. Funkcijos tolydumas ir diferencijuotinumas. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės. Rodyklinės ir logaritminės funkcijų išvestinės. Funkcijų, duotų neišreikštiniame pavidale, diferenciavimas. Diferenciavimas logaritmuojant. Funkcijų, duotų parametrinėmis lygtimis, diferenciavimas. Funkcijos diferencialas. Aukštesnių eilių išvestinės. Funkcijos grafikas, iškilumo intervalai, persilenkimo (vingio) taškai. Funkcijos grafiko asimptotės. Rolio lema ir teorema. Koši teorema. Lagranžo teorema. Liopitalio taisyklė. Skaityti daugiau
Matematinė logikaMatematika, konspektas
(15 puslapių)
Teiginių logika. Teiginiai ir loginės operacijos. Skliaustų rašymo taisyklės. Formulių ekvivalentiškumas. Teisingumo funkcijos. Svarbiausios tapačiai teisingų formulių savybės. Teisingumo funkcijų tobulosios ir normaliosios formulės. Pilnosios teisingumo funkcijų sistemos. Implikacijos ir ekvivalencijos savybės. Dualių formulių savybės. Sutrumpintos teisingumo lentelės. Pagrindinės išplaukimo taisyklės. Teiginių logikos taikymas natūraliai kalbai. Natūralios kalbos sakinių užrašymas matematinės logikos kalba. Samprotavimų analizė teiginių logikos metodais. Skaityti daugiau
Operacijų tyrimas (2)Matematika, konspektas
(6 puslapiai)
Operacijų tyrimo esmė. Operacijų tyrimo uždavinių klasės ir sprendimo etapai. Gamybos planavimo uždavinys ir jo taikymai. Dietos (mišinių) uždavinys ir jo taikymai. Tiesinio programavimo uždavinių tipai ir jų pavertimas vieno kitu. Simpleksinio metodo esmė. Transformacijos. Optimalaus plano paieška. Dualus gamybos planavimo uždavinys ir jo ekonominė prasmė. Dualių uždavinių savybės ir jų ekonominė prasmė. Dualumo teoremos ir jų ekonominė prasmė. Transporto uždavinys. Būtinos ir pakankamos jo išsprendžiamumo sąlygos. Nesubalansuotas transporto uždavinys. Jo subalansavimo būdas. Prioritetai fiktyviems tiekėjams ar gavėjams. Transporto uždavinys su privalomais ir ribotais pervežimais. Paskyrimų uždavinys. Kuprinės uždavinys. Paprasčiausias išdėstymo uždavinys. Diskrečiojo programavimo uždaviniai ir jų rūšys. Karpymo uždavinys. Diskrečiojo programavimo uždavinių sprendimo metodai. Skaityti daugiau
Orientuotos atkarpos ir vektoriaiMatematika, konspektas
(11 puslapių)
Orientuotos atkarpos. Vektorių sąvoka. Vektoriaus sudėtis ir atimtis. Vektorių daugyba iš skaliarų. Plokštumos ir erdvės linealai. Plokštumos linealo bazės. Vektoriaus koordinatės. Erdvės linealo bazės. Skaityti daugiau
Planimetrija (3)Matematika, konspektas
(4 puslapiai)
Planimetrijos kartojimas. Sinusų teorema. Kosinusų teorema. Jei apskritimas įbrėžtas į trikampį. Jei apskritimas apibrėžtas apie trikampį. Jei keturkampis apibrėžtas apie apskritimą. Jei keturkampis įbrėžtas į apskritimą. Pusiaukraštinių savybių taikymas. Trikampio ploto formulės. Pusiaukampinių savybių taikymas. Trikampio aukštinės savybės. Uždaviniai su plotų santykiu. Trapecijos savybių taikymo uždaviniai. Jei trikampis statusis. Lygiagretainis. Rombas. Stačiakampis. Kvadratas. Kampai. Liestinių savybės. Kirstinių savybė. Stygų savybė. Iškilasis daugiakampis. Skritulys ir jo dalys. Skaityti daugiau
Trikampio pusiaukraštinės, pusiaukampinės ir aukštinės apibrėžimai. Trikampio vidurinės linijos apibrėžimas ir savybė. Trikampio pusiaukampinės savybė. Trikampio lygumo požymiai. Trikampio nelygybė (ryšys tarp trikampio kraštinių). Trikampio ploto formulės. Trikampio panašumo požymiai. Kokios yra panašių trikampių kraštinės ir kampai? Sinusų teorema ir išvada iš jos. Kosinusų teorema. Kokiam trikampiui ji taikoma ir ką pagal ją galima apskaičiuoti? Lygiakraščio trikampio kraštinės išraiška per r ir R (įbrėžto ir apibrėžto trikampio spinduliai). Trikampio pusiaukraštinių savybė. Įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie trikampį spindulių formulės, kai trikampis netaisyklingas. Atvirkštinė Pitagoro teorema. Stataus trikampio smailaus kampo sinuso, kosinuso, tangento, kotangento apibrėžimai. Stačiojo trikampio smailių kampų suma. Stačiojo trikampio lygumo požymiai. Apie statųjį trikampį apibrėžto apskritimo spindulys. Kokį keturkampį vadiname lygiagretainiu? Lygiagretainio požymiai. Lygiagretainio įstrižainių požymiai. Lygiagretainio įstrižainių ir kraštinių ryšys. Lygiagretainio ploto formulės. Rombo įstrižainių savybės. Rombo ploto formulės. Kvadrato įstrižainių savybės. Kvadrato ploto formulės. Kokį keturkampį vadiname trapecija? Kokią trapeciją vadiname stačiąja, lygiašone? Trapecijos vidurinės linijos apibrėžimas ir savybė. Trapecijos ploto formulės. Kada apie keturkampį galima apibrėžti apskritimą? Kada į keturkampį galima įbrėžti apskritimą? Stačiakampio ploto formulės. Kokie taškai vadinami simetriškais taško, tiesės, plokštumos atžvilgiu? Kaip vadinamos tos simetrijos? Panašių figūrų plotų ir perimetrų santykis. Kam yra lygi iškiliojo n-kampo kampų suma? Stačiojo trikampio statinio išraiška per įžambinę ir jos projekciją įžambinėje. Stačiojo trikampio aukštinės, nubrėžtos iš status kampo viršūnės išraiška per statinių projekcijas. Centrinio kampo apibrėžimas ir kam lygus jo didumas? Įbrėžtinio kampo apibrėžimas ir kam lygus jo didumas? Kam lygus didumas įbrėžtinio kampo, kuris remiasi į pusapskritimį? Kokią tiesę vadiname apskritimo liestine? Apskritimo liestinių, nubrėžtų iš vieno taško, savybė. Apskritimo liestinės ir kirstinės, nubrėžtų iš vieno taško, savybė. Susikertančių apskritimo stygų savybė. Apskritimo ilgio žymėjimas ir formulė jam apskaičiuoti. Apskritimo lanko ilgio formulė. Ką vadiname trikampio kampo priekampiu ir koks jo ryšys su vidaus kampu (pagal didumą)? Ką vadiname kampu tarp pasvirosios ir plokštumos. Ką vadiname kampu tarp prasilenkiančių tiesių. Ką vadiname dvisieniu kampu? Kaip jį žymime? Ką vadiname dvisienio kampo linijiniu kampu? Kam lygus dvisienio kampo didumas? Tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis. Tiesės ir plokštumos statmenumo požymis. Trijų statmenų teorema. Atvirkštinė statmenų teorema. Dviejų plokštumų lygiagretumo požymis. Dviejų plokštumų statmenumo požymis. Ką vadiname vektoriumi? Kas yra jo ilgis ir kaip jį žymime? Vektorių sudėties trikampio taisyklė. Kokie vektoriai vadinami kolineariais? Kaip vektorių galima išreikšti koordinatiniais vektoriais? Kaip rasti vektoriaus koordinates, kai žinome jo pradžios ir galo koordinates? Vektorių sumos, skirtumo ir sandaugos iš skaičiaus koordinatės. Vektorių skaliarinė sandauga. Dviejų vektorių skaliarinę sandaugą skaičiuojame pagal formulę. Kam yra lygi vektoriaus ir jo paties skaliarinė sandauga? Kampo tarp vektorių apskaičiavimo taisyklė. Vektorių kolinearumo ir statmenumo sąlyga. Vektoriaus ilgio apskaičiavimas, kai žinome jo koordinates. Atstumo tarp dviejų taškų formulė. Atkarpos vidurio taško koordinačių apskaičiavimas. Apskritimo lygtis. Jei M – atkarpos AB vidurio taškas, O – bet kuris plokštumos (erdvės) taškas, kaip galima vektorių OM išreikšti vektoriais OA ir OB? Jei M–trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo taškas, O – bet kuris plokštumos (erdvės) taškas, kaip galima vektorių OM išreikšti vektoriais OA, OB ir OC? Kokios yra koordinatinių vektorių i, j ir k koordinatės, koks jų ilgis ir kokia kryptis? Kaip galima vektorių skirtumą AB – DB pakeisti į sumą ir kam bus ta suma lygi? Kaip vadinami vektoriai a ir –a, koks jų ilgis, kryptis ir koordinatės? Skaityti daugiau
Rizikos teorija verslo sistemoseMatematika, konspektas
(27 puslapiai)
PDF formatas. Įvadas. Ekonominių uždavinių sprendimo matematiniai metodai. Matematinio modelio sudarymas. Draudimas ir jo vystymosi raida. Klasikinis draudimo matematinis modelis. Draudimo ekonomika. Naudos funkcija. Rizikos matematiniai modeliai. Individualios rizikos matematinis modelis. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos skirstiniai. Kolektyvinės rizikos matematinis modelis vienam periodui. Alternatyvūs kolektyvinės rizikos matematiniai modeliai. Atsitiktinio skaičiaus atsitiktinių dydžių sumos aproksimavimas. Kolektyvinės rizikos matematinis modelis ilgalaikiam periodui. Atstatymo (sureguliavimo) koeficientas. Skaityti daugiau
StereometrijaMatematika, konspektas
(6 puslapiai)
Stereometrija. Aksiomos. Išvados iš aksiomų. Informacinė medžiaga. Lygiagrečios tiesės erdvėje. Plokštumų lygiagretumas. Tiesių statmenumas.Tiesės ir plokštumos statmenumas. Plokštumų statmenumas. Kampai tarp tiesių ir plokštumų. Prizmė. Gretasienis. Piramidė. Ritinys. Kūgis. Rutulys. Ritinio, kūgio, rutulio ir jo dalių tūris. Ritinio, kūgio, rutulio ir jo dalių paviršius. Skaityti daugiau
