Dviejų vektorių vektorinė sandauga: apibrėžimas, savybės, reiškimas vektorių koordinatėmis, geometrinė prasmė. Trijų vektorių mišrioji sandauga: apibrėžimas, geometrinė prasmė, savybės, reiškimas vektorių koordinatėmis. Bendrosios plokštumos lygties išvedimas ir atskiri jos atvejai. Taško atstumas iki plokštumos. Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinių lygčių išvedimas. Bendroji tiesės lygtis ir jos suvedimas į kanoninę lygtį. Elipsės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, parametrai ir jų prasmė, kiti elipsės atvejai. Lygties išvedimas. Kiti elipsės atvejai. Hiperbolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, asimptotės, parametrai ir jų prasmė, kiti hiperbolės lygties atvejai. Lygties išvedimas. Kiti hiperbolės atvejai. Parabolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, kiti parabolės atvejai. Lygties išvedimas. Kiti atvejai. Atvirkštinės funkcijos apibrėžimas, jos egzistavimo sąlyga. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimas, jų savybės ir grafikai. Funkcijos ribos taške apibrėžimas ir geometrinė prasmė. Vienpusės funkcijos ribos. Nykstamosios funkcijos apibrėžimas. Įrodykite teoremą apie funkcijos, jos ribos ir nykstamosios funkcijos sąryšį. Ribų dėsniai. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamos funkcijos. Funkcijos tolydumo taške sąvoka (trys apibrėžimai su paaiškinimais). Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės. Funkcijos trūkio taškų klasifikacija (su brėžiniais). Skaityti daugiau
Matematika (8)Matematika, špera
(9 puslapiai)
Dviejų vektorių skaliarinė sandauga, jos savybės ir reiškimas vektorių koordinatėmis. Dviejų vektorių vektorinė sandauga, jos savybės ir reiškimas vektorių koordinatėmis. Bendroji plokštumos lygtis ir atskiri jos atvejai. Tiesės erdvėje kanoninė ir parametrinė lygtys. Bendroji tiesės lygtis. Parabolės apibrėžimas, lygties išvedimas ir brėžinys. Parabolė. Taško atstumas iki plokštumos. Hiperbolės apibrėžimas, lygties išvedimas ir brėžinys. Hiperbolė. Elipsė. Polinė koordinačių sistema. Atvirkštinės funkcijos sąvoka. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Funkcijos riba taške. Parametrinės funkcijos lygtys. Apskritimo, elipsės ir cikloidės parametrinės lygtis. Skaičius e ir hiperbolinės funkcijos. Skaičių sekos riba ir skaičių sekos ribos egzistavimo teoremos. Nykstamosios funkcijos ir jų savybės. Ribų dėsniai. Funkcijos ribos egzistavimo požymiai. Riba lim(1+1/x) pakelta iksuoju. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos. Funkcijos tolydumo taške sąvoka. Tolydžių atkarpoje funkcijų savybės. Funkcijos trūkio taškai. Skaityti daugiau
Matematikos funkcijosMatematika, špera
(6 puslapiai)
Atvirkštinė funkcija. Išreikštinės ir neišreikštinės funkcijos. Hiperbolinės funkcijos. Parametrinės funkcijos lygtis. Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė. Funkcijos diferencijuojamumas. Diferencijavimo taisyklės. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Logaritminio diferencijavimo metodas. Parametrinėmis lygtimis duotų funkcijų diferencijavimas. Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema. Rolio teorema. Koši teorema. Lopitalio taisyklė. Diferencialas ir jo savybės. Diferenciavimo pritaikymas apytiksliam skaičiavimui. Aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai. Bendroji funkcijų tyrimų schema. Ekstremumai. Kreivės asimptotės. Bendros sąvokos kelių kintamųjų funkcijų. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas. Kelių kintamųjų funkcijų dalinis ir pilnas pokyčiai. Kelių kintamųjų funkcijų dalinės išvestinės. Aukštesnių eilių dalinės išvestinės. Kelių kintamųjų funkcijų dalinis ir pilnas diferencialai. Sudėtinės funkcijos diferencijavimas. Neišreikštinių funkcijų diferenciavimas dalinių išvestinių pagalba. Kelių kintamųjų funkcijų aukštesnių eilių diferenciavimas. Dviejų kintamųjų funkcijų ekstremumai. Skaityti daugiau
Matematinė analizėMatematika, špera
(6 puslapiai)
Teiloro formulė. Lokalūs ekstremumai. Iškilosios funkcijos. Funkcijos be antros rūšies trūkių. Neapibrėžtinis integralas. Funkcijų sekų tolygus konvergavimas. Apibrėžtinis integralas. Elementariosios laiptinių funkcijų integralo savybės. Integralo egzistavimas ir apibrėžtumo korektiškumas. Niutono-Leibnico formulė. Kintamojo keitimo formulė. Integravimo dalimis formulė. Rymano integralas. Baigtinės variacijos funkcija. Styltjeso integralas. Netiesioginis integralas. Netiesioginių integralų palyginimo teorema. Konvergavimas. Integralinis eilučių konvergavimo požymis. Nulinio mato aibė. Skaičių eilutės suma. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojanti skaičių eilutė. Koši požymis. Dalambero požymis. Leibnico požymis. Eilučių narių perstatymas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (10)Matematika, špera
(6 puslapiai)
Funkcijos riba. Ekvivalentumo įrodymas. Funkcijų ribų savybės. Koši kriterijus. Funkcijos tolydumas ir trūkių rūšys. Vajerštraso teoremos. Bolcano-Koši teoremos. Funkcijos išvestinė. Funkcijų išvestinių savybės. Vidurinių reikšmių teoremos. Teiloro formulė. Lokalūs ekstremumai. Funkcijos iškilumas. Funkcijos be antros rūšies trūkių. Neapibrėžtinis integralas. Apibrėžtinis integralas. Elementarios laiptinių funkcijų integralo savybės. Integralo egzistavimas, apibrėžimo korektiškumas. Kintamas rėžis, Niutono – Leibnico formulė. Kintamojo keitimo formulė. Rymano integralas. Netiesioginis integralas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (12)Matematika, špera
(8 puslapiai)
Skaičių eilutės. Pagrindinės sąvokos. Skaičių eilutės. n-oji dalinė suma. Eilutės konvergavimas. Eilutės suma. Geometrinės progresijos eilutė. Harmoninė eilutė. Geometrinės progresijos eilutė. Būtina skaičių eilučių konvergavimo sąlyga. Konvergavimo eilučių savybės. Skaičių eilučių konvergavimo požymiai. Alternuojančios eilutės. Absoliutusis ir reliatyvusis konvergavimas. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojančių eilučių savybės. Funkcijų eilutės. Pagrindinės sąvokos. Funkcijų eilučių sumos tolydumas. Funkcijų eilučių integravimas ir diferencijavimas panariui. Laipsninės eilutės. Laipsninės eilutės konvergavimo intervalas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (3)Matematika, špera
(6 puslapiai)
Lagranžo teorema. Lopitalio taisyklė. Teiloro formulė. Funkcijos pastovumo ir monotoniškumo sąlygos. Funkcijos ekstremumo būtinos ir pakankamos sąlygos. Pirmykštė funkcija. Neapibrėžtinių integralų lentelė. Integravimas pakeičiant kintamąjį. Dalinis integravimas. Elementarių racionalių f-jų integravimas. Darbų sumos. Rymano integralo egzistavimo sąlyga. Integruojamų funkcijų klasės. Apibrėžtino integralo savybės. Niutono-Leibnico formulė. Apibrėžtinio integralo apskaičiavimo metodai. Apibrėžtinio integralo taikymo pavyzdžiai. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas. Kelių kintamųjų tolydžių funkcijų savybės. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas, būtina sąlyga. Didžiausia, mažiausia kelių kintamųjų funkcijos reikšmė. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (5)Matematika, špera
(5 puslapiai)
Funkcijos išvestinės sąvoka. Funkcijų diferencijavimo taisyklės. 1 teorema. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės. Funkcijų diferencialas, jo geometrinė prasmė. Diferencialo savybės. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai. Ferma teorema ir Rolio teoremos jų geometrinė prasmė. Koši teorema, Lagranžo teoremos, jų geometrinė prasmė. Liopitalio teorema. Teiloro formulė. Funkcijos reiškimas, Teiloro formulė. Makloreno formulės. Funkcijos pastovumo sąlyga, monotoniškumo intervalai. Funkcijos lokalūs ekstremumai, būtinos jų sąlygos. Pakankamos lokaliųjų ekstremumų sąlygos. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai. Funkcijos grafiko asimptotės. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos. Neapibrėžtinių integralų lentelė. Pagrindiniai integravimo metodai. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris, integravimas. Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (6)Matematika, špera
(7 puslapiai)
Aibė plokštumoje ir erdvėje. Metrinės erdvės. Taško aplinka erdvėje Rn. Atvirosios ir uždarosios erdvės. Kelių kintamųjų funkcijos geometrinis vaizdavimas. Kelių kintamųjų funkcijų ribos. Kelių kintamųjų funkcijos tolydumas. Dalinės išvestinės. Pilnasis funkcijos pokytis. Kelių kintamųjų funkcijos pilnasis diferencialas. Pilnojo diferencialo taikymas. Sudėtinės kelių kintamųjų funkcijos išvestinės. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas. Neišreikštinės kelių kintamųjų funkcijos diferencijavimas. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai. Kelių kintamųjų funkcijos. Teiloro eilutė. Funkcijos lokalusis ekstremumas. Sąlyginiai ekstremumai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje srityje. Gradientas. Kryptinė išvestinė. Erdvinės kreivės liestinė ir normalinė plokštuma. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (7)Matematika, špera
(4 puslapiai)
Kvadruojamos figūros. Figūros plotas. Kūno tūris. Kreivės plotas 0. Dviejų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Dvilypis integralas. Teorema apie funkcijos integruojamumą uždaroje srityje. Dvilypio integralo paprasčiausios savybės (apie konstantą, sumą, skirtumą). Jei integravimo sritis yra dviejų sričių sąjunga. f(x,y)≤g(x,y). Funkcijos modulio integruojamumas. Integralo rėžiai. f(x0,y0)P. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra stačiakampis. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivinė trapecija. Trijų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Trilypis integralas. Jakobianas. Kintamųjų keitimas dvilypiame integrale. Kintamųjų keitimas trilypiame integrale. Jakobianas. Kintamųjų keitimas polinėje koordinačių sistemoje. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis polinėmis (cilindrinėmis) koordinatėmis. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis sferinėmis koordinatėmis. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas išreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas neišreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas parametrinėmis lygtimis. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės masei ir statiniams momentams rasti. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės masės centrui rasti. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės inercijos momentų radimui. Trilypio integralo taikymas kūno tūriui apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno masei apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno masės centro koordinatėms apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno statiniams momentams apskaičiuoti. Kreiviniai integralai. Pirmojo tipo kreivinis integralas. Pirmojo tipo kreivinio integralo savybės. Kreivės lygtis y=y(x). Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivė apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje. Antrojo tipo kreivinis integralas. Antrojo tipo kreivinio integralo savybės. Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivinių integralų sąryšis. Gryno – Ostrogradskio fomulė. Kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlyga. Kreivinio integralo, nepriklausančio nuo integravimo kelio, ryšys su funkcijos pilnuoju diferencialu. Cilindro paviršiaus plotas. Kreivės lanko ilgis. Plokščios figūros plotas. Kreivės lanko masės centro koordinatės ir inercijos momentai. Vienpusis paviršius. Dvipusis paviršius. Pirmojo tipo paviršinis integralas. Pirmojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. Antrojo tipo paviršinis integralas. Antrojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. Stokso formulė. Tiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. Teorema apie tiesioginio integralo, priklausančio nuo parametro, tolydumo sąlygą. Ribos ir integralo keitimas vietomis (paaiškinti). Teorema apie diferencijavimą po integralo ženklu. Diferencijavimas po integralo ženklu, kai integravimo rėžiai priklauso nuo parametro. Netiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. Konverguojantis netiesioginis integralas. Tolygiai konverguojantis netiesioginis integralas. Netiesioginio integralo liekana. Vejerštraso teorema apie netiesioginio integralo konvergavimą tolygiai ir absoliučiai. Funkcijos mažorantė. Netiesioginio integralo savybės. Beta funkcija. Gama funkcija. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (9)Matematika, špera
(5 puslapiai)
Matematinės indukcijos metodas. Niutono binomas. Realieji skaičiai. Tvarkos sąryšio aksiomos. Pilnumo aksioma. Tikslieji rėžiai. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Tiksliųjų rėžių egzistavimo teorema. Įdėtųjų intervalų lema. Funkcijų tolydumas ir trūkių rūšys. Bijekcija. Skaičios aibės. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Racionalių skaičių aibė yra skaiti. Kontinuumo galios aibė. Skaičių sekų ribos. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Bolcano-Vejerstraso lema. Koši konvergavimo kriterijus skaičių sekoms. Skaičiaus e apibrėžimas pasitelkus skaičių sekos ribą. Skaičių sekų viršutinės ir apatinės ribos. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Teoremos. Skaityti daugiau
Operacijų tyrimo esmė. Operacijų tyrimo uždavinių klasės ir sprendimo etapai. Uždavinių klasės. Sprendimo etapai. Gamybos planavimo uždavinys ir jo taikymai. Dietos arba mišinių uždavinys. Geometrinis tiesinio programavimo uždavinių interpretavimas ir sprendimas. Pagrindinės iškiliosios analizės sąvokos. Tiesinio programavimo uždavinių tipai ir jų pavertimas vieno kitu. Kanoninio tiesinio programavimo uždavinio savybės. Simpleksinio metodo esmė. Atraminio plano bazė. Pagrindinis simplekso metodo žingsnis. Simpleksinio metodo esmė. Transformacijos. Simpleksinio metodo esmė. Pradinis atraminis planas paprasčiausiu atveju. Dualus gamybos planavimo uždavinys ir jo ekonominė prasmė. Dualių uždavinių savybės ir jų ekonominė prasmė. Pirmoji dualumo teorema. Antroji dualumo teorema ir jos ekonominė prasmė. Transporto uždavinys. Nesubalansuotas transporto uždavinys. Prioritetai fiktyviems tiekėjams ir fiktyviems gavėjams. Išdėstymo uždavinys ir jo ryšys su transporto uždaviniu. Atsargų valdymo uždavinys kaip transporto uždavinys. Tiesiniai sveikaskaitiniai ir diskretūs uždaviniai. Karpymo uždavinys. Kuprinės(vienmatis ir daugiamatis), paskyrimų, komivojažieriaus uždaviniai. Kuprinės uždavinys. Sveikaskaitinio tiesinio programavimo uždavinio sprendimas. Skaityti daugiau
Operacijų tyrimas (3)Matematika, špera
(18 puslapių)
Operacijų tyrimo esmė. Operacijų tyrimo uždavinių klasės ir sprendimo etapai. Gamybos planavimo uždavinys ir jo taikymai. Dietos (mišinių) uždavinys ir jo taikymai. Geometrinis tiesinio programavimo uždavinių interpretavimas ir sprendimas. Pagrindinės iškiliosios analizės sąvokos. Tiesinio programavimo uždavinių tipai ir jų pavertimas vienas kitu. Kanoninio tiesinio programavimo uždavinio savybės. Simpleksinio metodo esmė. Atraminio plano bazė. Simpleksinio metodo esmė. Pagrindinis žingsnis. Simpleksinio metodo esmė. Transformacijos. Simpleksinio metodo esmė. Pradinis atraminis planas paprasčiausiu atveju. Dualus gamybos planavimo uždavinys ir jo ekonominė prasmė. Dualių uždavinių savybės ir jų ekonominė prasmė. Pirmoji dualumo teorema. Antroji dualumo teorema ir jos ekonominė prasmė. Transporto uždavinys. Būtinos ir pakankamos jo išsprendžiamumo sąlygos. Nesubalansuotas transporto uždavinys. Prioritetai fiktyviems tiekėjams ir gavėjams. Gamybinių pajėgumų išdėstymo uždavinys ir jo ryšys su transporto uždaviniu. Atsargų valdymo uždavinys kaip transporto uždavinys. Tiesiniai sveikaskaitiniai ir diskretūs uždaviniai. Karpymo uždavinys. Kuprinės (vienmatis ir daugiamatis), paskyrimų, komivojažieriaus uždaviniai. nežinomųjų panaudojimas uždaviniui su apribojimų alternatyvomis suformuluoti. Sveikaskaitinio programavimo uždavinių sprendimo problemos. Atkirtimo bei šakų ir rėžių algoritmai. Tiesinio programavimo uždavinių galimybės ir ribos. Netiesinio programavimo uždavinių bendras formulavimas ir grafinis atvaizdavimas. Iškiliojo programavimo uždavinys. Globalaus ir lokalaus optimumų sutapimas. Būtinos ir pakankamos iškiliojo programavimo uždavinio sprendimo sąlygos erdvėje Rn ir aibėje Rn+. Skaityti daugiau
Paklaidos ir jų šaltiniaiMatematika, špera
(7 puslapiai)
Paklaidos ir jų šaltiniai. Absoliuti ir santykinė paklaidos. Vieno kintamojo funkcijų paklaidos. Daugelio kintamųjų funkcijų paklaidos. Atvirkštiniai paklaidų skaičiavimo uždaviniai. Lygių įtakų ir kiti principai. Iteracinių procesų teorija. Iteracinio proceso konvergavimo sąlygos. Paprastųjų iteracijų metodas. Geometrinė prasmė. Tikslumo įvertinimas iteracijų metode. Kirstinių metodas. Liestinių (Niutono) metodas. Vektoriaus ir matricos normos Vektoriaus norma. Tiesinių lygčių sistemų sprendimas iteracijų metodu. Netiesinių lygčių sistemų sprendimas iteracijų metodu. Iteracijų metodo konvergavimo sąlygos. Funkcijų interpoliavimas. Interpoliavimo daugianario sudarymas. Splainai. Niutono-Koteso formulės. Skaityti daugiau
Plokštumos ir tiesės erdvėjeMatematika, špera
(5 puslapiai)
Plokštumos ir tiesės erdvėje. Tiesės erdvėje, apibrėžtos dviejų plokštumų sankirta kanoninė lygtis. Bendroji plokštumos lygtis ir jos atskirieji atvejai. Normalioji plokštumos lygtis. Kampas tarp dviejų plokštumų. Plokštumų grįžtė. Kampas tarp dviejų tiesių erdvėje. Tiesės ir plokštumos tarpusavio padėtis. Taško atstumas iki plokštumos. Taško atstumas iki tiesės erdvėje. Kampas tarp tiesės ir plokštumos. Plokštumų pluoštas. Plokštuma išvesta per 5 taškus. Skaityti daugiau
Skaitiniai metodai (3)Matematika, špera
(10 puslapių)
Apytiksliai skaičiai ir paklaidos. Interpoliavimas. Niutono interpoliacinis daugianaris. Splainas. Pusiaukirtos metodas. Relaksacijos metodas. Niutono metodas. Netiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai. Gauso metodas. Triįstrižainės sistemos. Skaidos metodai (LU ir Choleckio). Jakobio ir Zeidelio metodas. Stacionarieji iteraciniai metodai. Variaciniai metodai. Stačiakampių, trapecijų, Simpsono formulės. Stačiakampių formulės. Trapecijų formulė. Simpsono formulė. Neapibrėžtinių koeficientų metodas. Gauso skaitinio integravimo formulės. Bendroji uždavinio sprendimo schema. Parabolių metodas. Atvirkštinių iteracijų metodas. Laipsnių metodas. Aukso pjūvio metodas. Niutono metodas. Kelių kintamųjų funkcijų minimumo uždavinys. Simpleksų metodas. Skaityti daugiau
Taikomoji matematika (2)Matematika, špera
(4 puslapiai)
Skaliarinis laukas. Kryptinė išvestinė. Gradientas. Vektorinio lauko divergencija. Cirkuliacija. Vektorinio lauko rotorius. Vektoriniai laukai. Eilutės. Alternuojančios eilutės. Kintamojo ženklo eilutė. Funkcijų eilutės. Laipsninės eilutės. Teiloro eilutė. Trigonometrinės Furjė eilutės. Skaityti daugiau
