Funkcijos riba. Ekvivalentumo įrodymas. Funkcijų ribų savybės. Koši kriterijus. Funkcijos tolydumas ir trūkių rūšys. Vajerštraso teoremos. Bolcano-Koši teoremos. Funkcijos išvestinė. Funkcijų išvestinių savybės. Vidurinių reikšmių teoremos. Teiloro formulė. Lokalūs ekstremumai. Funkcijos iškilumas. Funkcijos be antros rūšies trūkių. Neapibrėžtinis integralas. Apibrėžtinis integralas. Elementarios laiptinių funkcijų integralo savybės. Integralo egzistavimas, apibrėžimo korektiškumas. Kintamas rėžis, Niutono – Leibnico formulė. Kintamojo keitimo formulė. Rymano integralas. Netiesioginis integralas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (11)Matematika, namų darbas
(34 puslapiai)
PDF byla. Matematinės analizės namų darbas. Užduotys ir sprendimai. Darbas anglų bei lietuvių kalbomis. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (12)Matematika, špera
(8 puslapiai)
Skaičių eilutės. Pagrindinės sąvokos. Skaičių eilutės. n-oji dalinė suma. Eilutės konvergavimas. Eilutės suma. Geometrinės progresijos eilutė. Harmoninė eilutė. Geometrinės progresijos eilutė. Būtina skaičių eilučių konvergavimo sąlyga. Konvergavimo eilučių savybės. Skaičių eilučių konvergavimo požymiai. Alternuojančios eilutės. Absoliutusis ir reliatyvusis konvergavimas. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojančių eilučių savybės. Funkcijų eilutės. Pagrindinės sąvokos. Funkcijų eilučių sumos tolydumas. Funkcijų eilučių integravimas ir diferencijavimas panariui. Laipsninės eilutės. Laipsninės eilutės konvergavimo intervalas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (13)Matematika, konspektas
(12 puslapių)
Aibių Dekarto sandauga. Koši nelygybė (su įrodymu). Atstumas tarp taškų. Savybės. Vektoriaus norma. Savybės. Vektorių suma, skirtumas, sandauga iš skaičiaus. Skaliarinė sandauga. Savybės. N-matė Euklido erdvė. Taško aplinka. Ribinis ir vidinis aibės taškai. Uždaroji ir atviroji aibės. Jungioji aibė. Aprėžtoji aibė. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka. Lygio linija. Lygio paviršius. Elipsoidas. Hiperboloidai (vienašakis, dvišakis, kūgis). Elipsinis paraboloidas. Hiperbolinis paraboloidas. Cilindriniai paviršiai (elipsinis, parabolinis, hiperbolonis cilindrai). Ribos apibrėžimas selų kalba. Ribos apibrėžimas kalba. Kartotinės ribos. Daugialypės ribos. Teorema apie kartotinių ir dvilypės ribos sąryšį. Tolydžiosios funkcijos apibrėžimas sekų ir kalba. Trūkio taško apibrėžimas. Operacijos su tolydžiomis funkcijomis. Sudėtinės funkcijos tolydumas. Tarpinės funkcijos reikšmės teorema. Apibrėžtumo teorema. Dalinis funkcijos pokytis. Dalinės išvestinės apibrėžimas. Teorema apie homogeninę p laipsnio funkciją (Oilerio teorema). Kelių kintamųjų funkcijos dalinių išvestinių geometrinė prasmė. Funkcijos pilnojo pokyčio apibrėžimas. Teorema apie funkcijos pokyčio išraišką. Teorema apie funkcijos tolydumo sąlygas (argumentų pokyčių artėjimas į nulį). Diferencijuojamos taške fukcijos apibrėžimas. Funkcijos pilnojo diferencialo apibrėžimas. Būtina funkcijos diferencijuojamumo sąlyga (su įrodymu). Pakankama funkcijos diferencijuojamumo sąlyga. Glodžios funkcijos apibrėžimas. Pilnojo diferencialo taikymas paklaidų įvertinimui. Sudėtinės kelių kintamųjų funkcijos z=f(x,y) išvestinė, kai x=x(t) ir y=y(t). Sudėtinės kelių kintamųjų funkcijos z=f(x,y) išvestinė, kai x=x(u,v) ir y=y(u,v). Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas. Neišreikštinės kelių kintamųjų funkcijos diferencijavimas. Funkcijos z=f(x,y) antros eilės dalinės išvestinės. Teorema apie antros eilės mišrių dalinių išvestinių sutapimą. Aukštesnės nei antros eilės dalinės išvestinės. Funkcijos z=f(x,y) antros eilės diferencialas. Funkcijos z=f(x,y) aukštesnės nei antros eilės diferencialai. Funkcijos z=f(x,y), kai x=x(u,v) ir y=y(u,v) antros eilės diferencialas. Teiloro formulė su Lagranžo formos liekamuoju nariu funkcijai z=f(x,y). Teiloro formulės taikymas. Funkcijos lokaliojo maksimumo taško apibrėžimas. Funkcijos lokaliojo minimumo taško apibrėžimas. Funkcijos kritinių (stacionarių) taškų apibrėžimas. Būtinos ektremumo egzistavimo sąlygos. Ekstremumų nusakymas iš funkcijos išraiškos. Analizinė geometrinių uždavinių interpretacija. Teorema apie ekstremumo taškus pagal antrąsias dalines išvestines. Silvesterio kriterijus trijų kintamųjų funkcijai ekstremumo egzistavimo kritiniame taške pakankamos sąlygos. Sąlyginių ekstremumų apibrėžimas. Funkcijos maksimumo ir minimumo taškai. Keturių kintamųjų funkcijos sąlyginio ekstremumo radimo suvedimas į dviejų kintamųjų funkcijos lokalaus ekstremumo radimą (paaiškinti). Sąlyginių ekstremumų paieška. Lagranžo neapibrėžtinių daugiklių metodas. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje srityje. Krypties kosinusai. Funkcijos gradiento apibrėžimas. Funkcijos kryptinė išvestinė. Kreivės liestinė (išvedimas). Normalinė plokštumos lygtis. Kreivės liestinės taške krypties vektorius. Paviršiaus liečiamosios plokštumos lygtis. Kanoninė normalės lygtis. Normalės lygtis, kai paviršius apibrėžtas neišreikštine lygtimi F(x,y,z)=0. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (14)Matematika, konspektas
(8 puslapiai)
Kartotiniai integralai. Dvilypis integralas. Kvadruojamos figūros. Dvilypio integralo sąvoka. Dviejų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Dvilypis integralas. Teorema apie funkcijos integruojamą uždaroje srityje. Dvilypio integralo savybės. Dvilypio integralo paprasčiausios savybės (apie konstantą, sumą, skirtumą). Jei integravimo sritis yra dviejų sričių sąjunga. Funkcijos modulio integruojamumas. Integralo rėžiai. Dvilypio integralo apskaičiavimas. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra stačiakampis. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivinė trapecija. Trilypis integralas. Trilypio integralo samprata. Trijų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Trilypis integralas. Kintamųjų keitimas dvilypiuose integraluose. Jakobianas. Kintamųjų keitimas dvilypiame integrale. Kintamųjų keitimas trilypiame integrale. Jakobianas. Kintamųjų keitimas trilypiame integrale. Kintamųjų keitimas polinėje koordinačių sistemoje. Kintamųjų keitimas polinėje koordinačių sistemoje. Kai kurie kiti kintamųjų keitimo atvejai trilypiame integrale. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis polinėmis (cilindrinėmis) koordinatėmis. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis sferinėmis koordinatėmis. Kartotinių integralų taikymai. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas išreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas neišreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas parametrinėmis lygtimis. Trilypio integralo taikymas kūno tūriui apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno masei apskaičiuoti. Kreiviniai integralai. Kreiviniai integralai. Kreiviniai integralai. Pirmojo tipo kreivinis integralas. Pirmojo tipo kreivinis integralas. Pirmojo tipo kreivinio integralo savybės. Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas. Kreivės lygtis. Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivė apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje. Antrojo tipo kreiviniai integralai. Antrojo tipo kreivinis integralas. Antrojo tipo kreivinio integralo savybės. Antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas. Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivinių integralų sąryšis. Kreivinių integralų sąryšis. Kreivinis integralas, nepriklausantis nuo integravimo kelio. Gryno–Ostrogradskio formulė. Kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlyga. Kreivinio integralo, nepriklausančio nuo integravimo kelio, ryšys su funkcijos pilnuoju diferencialu. Kreivinių integralų taikymai. Cilindro paviršiaus plotas. Kreivės lanko ilgis. Plokščios figūros plotas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (15)Matematika, konspektas
(20 puslapių)
Funkcijos f(z) kreivinis integralas glodžiąja kreive. Kompleksinio kintamojo funkcijos f(z) pirmykštė funkcija. Koši integralinė teorema. Koši integralinė teorema bet kuria uždarąja kreive. Sudėtinio kontūro teorema. Koši integralinė formulė. Koši tipo integralas. Koši nelyginės. Koši integralinės teoremos atvirkštinė teorema. Tolygiai konverguojančių eilučių savybės. Tolygaus konvergavimo srityje D požymis. Vejerštraso teorema apie tolygiai konvertuojančias analizinių funkcijų eilutes. Laipsninė eilutė vadinama funkcijų eilutė, kurios nariai – laipsninės funkcijos. Koši ir Adamaro teorema laipsninėms eilutėms. Analizinės skritulyje funkcijos Teiloro eilutė. Koši ir Liuvilio teorema. Analizinės funkcijos jos A-taškas ir nuliai. Lorano eilutė. Lorano teorema. Vienareikšmės funkcijos ypatingieji taškai. Funkcijos reziduumai, reziduumų teoremos. Reziduumų skaičiavimo formulės. Logaritminis reziduumas, argumento principas. Rušė ir Hurvici teoremos. Reziduumų taikymas integralų skaičiavimui. Sveikosios Funkcijos didėjimo eilė ir tipas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (2)Matematika, konspektas
(4 puslapiai)
Vienareikšmės funkcijos ypatingieji taškai. Ypatingųjų taškų klasifikacija. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (3)Matematika, špera
(6 puslapiai)
Lagranžo teorema. Lopitalio taisyklė. Teiloro formulė. Funkcijos pastovumo ir monotoniškumo sąlygos. Funkcijos ekstremumo būtinos ir pakankamos sąlygos. Pirmykštė funkcija. Neapibrėžtinių integralų lentelė. Integravimas pakeičiant kintamąjį. Dalinis integravimas. Elementarių racionalių f-jų integravimas. Darbų sumos. Rymano integralo egzistavimo sąlyga. Integruojamų funkcijų klasės. Apibrėžtino integralo savybės. Niutono-Leibnico formulė. Apibrėžtinio integralo apskaičiavimo metodai. Apibrėžtinio integralo taikymo pavyzdžiai. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas. Kelių kintamųjų tolydžių funkcijų savybės. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Aukštesnių eilių išvestinės ir diferencialai. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumas, būtina sąlyga. Didžiausia, mažiausia kelių kintamųjų funkcijos reikšmė. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (4)Matematika, konspektas
(15 puslapių)
Skaičių eilutė, skaičių eilutės konvergavimas. Teigiamoji eilutė, absoliučiai konverguojanti eilutė. Teigiamų eilučių konvergavimo požymiai. Dalambero ir Koši konvergavimo požymiai. Eilutės Koši-Makloreno konvergavimo požymis. Absoliučiai ir reliatyviai konverguojančios skaičių eilutės. Rymano teorema. Absoliučiai konverguojančios eilutės. Koši teorema. Bet kokių eilučių konvergavimas. Leibnico požymis. Bet kokių eilučių konvergavimas. Dirichlė-Abelio požymis. Funkcijų eilučių ir sekų konvergavimas. Funkcijų sekų tolygaus konvergavimo požymis. Funkcijų eilutės Dirichlė-Abelio ir vejerštraso požymiai. Funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Dinio požymis. Tolygiai konverguojančių funkcijų eilučių ir sekų ribų teoremos. Funkcijų sekos ir eilučių integravimas panariui. Funkcijų sekos ir eilučių diferencijavimas panariui. Laipsninės eilutės. Koši-Ademaro teorema. Laipsninės eilutės konvergavimas. Laipsninės eilutės diferencijavimas ir integravimas. Funkcijų reiškimas laipsnine eilute. Funkcijų reiškimas laipsnine eilute. Vejerštraso teorema. Dvilypio integralo apibrėžimas. Dviejų kintamųjų funkcijų integruojamumas stačiakampyje. Dviejų kintamųjų funkcijų integruojamumas bet kokioje srityje. Dvilypio integralo savybės. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu vienlypiu integralu stačiakampyje. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu kai sritis nėra stačiakampis. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (5)Matematika, špera
(5 puslapiai)
Funkcijos išvestinės sąvoka. Funkcijų diferencijavimo taisyklės. 1 teorema. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės. Funkcijų diferencialas, jo geometrinė prasmė. Diferencialo savybės. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai. Ferma teorema ir Rolio teoremos jų geometrinė prasmė. Koši teorema, Lagranžo teoremos, jų geometrinė prasmė. Liopitalio teorema. Teiloro formulė. Funkcijos reiškimas, Teiloro formulė. Makloreno formulės. Funkcijos pastovumo sąlyga, monotoniškumo intervalai. Funkcijos lokalūs ekstremumai, būtinos jų sąlygos. Pakankamos lokaliųjų ekstremumų sąlygos. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai. Funkcijos grafiko asimptotės. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos. Neapibrėžtinių integralų lentelė. Pagrindiniai integravimo metodai. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris, integravimas. Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (6)Matematika, špera
(7 puslapiai)
Aibė plokštumoje ir erdvėje. Metrinės erdvės. Taško aplinka erdvėje Rn. Atvirosios ir uždarosios erdvės. Kelių kintamųjų funkcijos geometrinis vaizdavimas. Kelių kintamųjų funkcijų ribos. Kelių kintamųjų funkcijos tolydumas. Dalinės išvestinės. Pilnasis funkcijos pokytis. Kelių kintamųjų funkcijos pilnasis diferencialas. Pilnojo diferencialo taikymas. Sudėtinės kelių kintamųjų funkcijos išvestinės. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas. Neišreikštinės kelių kintamųjų funkcijos diferencijavimas. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai. Kelių kintamųjų funkcijos. Teiloro eilutė. Funkcijos lokalusis ekstremumas. Sąlyginiai ekstremumai. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje srityje. Gradientas. Kryptinė išvestinė. Erdvinės kreivės liestinė ir normalinė plokštuma. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (7)Matematika, špera
(4 puslapiai)
Kvadruojamos figūros. Figūros plotas. Kūno tūris. Kreivės plotas 0. Dviejų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Dvilypis integralas. Teorema apie funkcijos integruojamumą uždaroje srityje. Dvilypio integralo paprasčiausios savybės (apie konstantą, sumą, skirtumą). Jei integravimo sritis yra dviejų sričių sąjunga. f(x,y)≤g(x,y). Funkcijos modulio integruojamumas. Integralo rėžiai. f(x0,y0)P. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra stačiakampis. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivinė trapecija. Trijų kintamųjų funkcijos integralinė suma. Trilypis integralas. Jakobianas. Kintamųjų keitimas dvilypiame integrale. Kintamųjų keitimas trilypiame integrale. Jakobianas. Kintamųjų keitimas polinėje koordinačių sistemoje. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis polinėmis (cilindrinėmis) koordinatėmis. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis sferinėmis koordinatėmis. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas išreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas neišreikštine lygtimi. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas parametrinėmis lygtimis. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės masei ir statiniams momentams rasti. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės masės centrui rasti. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės inercijos momentų radimui. Trilypio integralo taikymas kūno tūriui apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno masei apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno masės centro koordinatėms apskaičiuoti. Trilypio integralo taikymas kūno statiniams momentams apskaičiuoti. Kreiviniai integralai. Pirmojo tipo kreivinis integralas. Pirmojo tipo kreivinio integralo savybės. Kreivės lygtis y=y(x). Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivė apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje. Antrojo tipo kreivinis integralas. Antrojo tipo kreivinio integralo savybės. Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivinių integralų sąryšis. Gryno – Ostrogradskio fomulė. Kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlyga. Kreivinio integralo, nepriklausančio nuo integravimo kelio, ryšys su funkcijos pilnuoju diferencialu. Cilindro paviršiaus plotas. Kreivės lanko ilgis. Plokščios figūros plotas. Kreivės lanko masės centro koordinatės ir inercijos momentai. Vienpusis paviršius. Dvipusis paviršius. Pirmojo tipo paviršinis integralas. Pirmojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. Antrojo tipo paviršinis integralas. Antrojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. Stokso formulė. Tiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. Teorema apie tiesioginio integralo, priklausančio nuo parametro, tolydumo sąlygą. Ribos ir integralo keitimas vietomis (paaiškinti). Teorema apie diferencijavimą po integralo ženklu. Diferencijavimas po integralo ženklu, kai integravimo rėžiai priklauso nuo parametro. Netiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. Konverguojantis netiesioginis integralas. Tolygiai konverguojantis netiesioginis integralas. Netiesioginio integralo liekana. Vejerštraso teorema apie netiesioginio integralo konvergavimą tolygiai ir absoliučiai. Funkcijos mažorantė. Netiesioginio integralo savybės. Beta funkcija. Gama funkcija. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (8)Matematika, konspektas
(9 puslapiai)
Funkcijos apibrėžimas ir jos išreiškimo būdai. Lyginė, nelyginė funkcija. Didėjanti, mažėjanti funkcija. Aprėžtos funkcijos. Atvirkštinė funkcija. Funkcijos riba. Nykstamos (nykstamai mažėjančios) funkcijos. Nykstamai mažėjančių funkcijų savybės. Sumos, sandaugos ir dalmens ribos. Funkcijų ribų egzistavimo požymis. Neapibrėžtumai. Nykstamai mažėjančių funkcijų palyginimas. Seka ir jos riba. Sekos ribos egzistavimo požymiai. Funkcijos tolydumas ir trūkio taškai. Tolydumas ir trūkio taškai. Funkcijų sumos, sandaugos ir dalmens tolydumas. Tolydinių funkcijų savybės uždarame intervale [a,b]. Funkcijos išvestinė. Jos ekonominė, geometrinė, mechaninė prasmė. Funkcijos tolydumas ir diferencijuotinumas. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestinės. Rodyklinės ir logaritminės funkcijų išvestinės. Funkcijų, duotų neišreikštiniame pavidale, diferenciavimas. Diferenciavimas logaritmuojant. Funkcijų, duotų parametrinėmis lygtimis, diferenciavimas. Funkcijos diferencialas. Aukštesnių eilių išvestinės. Funkcijos grafikas, iškilumo intervalai, persilenkimo (vingio) taškai. Funkcijos grafiko asimptotės. Rolio lema ir teorema. Koši teorema. Lagranžo teorema. Liopitalio taisyklė. Skaityti daugiau
Matematinė analizė (9)Matematika, špera
(5 puslapiai)
Matematinės indukcijos metodas. Niutono binomas. Realieji skaičiai. Tvarkos sąryšio aksiomos. Pilnumo aksioma. Tikslieji rėžiai. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Tiksliųjų rėžių egzistavimo teorema. Įdėtųjų intervalų lema. Funkcijų tolydumas ir trūkių rūšys. Bijekcija. Skaičios aibės. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Racionalių skaičių aibė yra skaiti. Kontinuumo galios aibė. Skaičių sekų ribos. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Bolcano-Vejerstraso lema. Koši konvergavimo kriterijus skaičių sekoms. Skaičiaus e apibrėžimas pasitelkus skaičių sekos ribą. Skaičių sekų viršutinės ir apatinės ribos. Apibrėžimas. Pavyzdžiai. Teoremos. Skaityti daugiau
Matematinė analizė ir tiesinė algebraMatematika, pristatymas
(17 skaidrių)
PowerPoint pristatymas. Funkcijos išvestinė. Išvestinės interpretacijos. Diferencijavimo taisyklės. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė. Aukštesniųjų eilių išvestinės. Išvestinės taikymai. Elastingumas. Išvestinės taikymai. Netiesinių lygčių sprendimas Niutono metodu. Išvestinės taikymai. Lopitalio taisyklė. Išvestinės taikymai. Teiloro formulė. Išvestinės taikymai. Funkcijos ekstremumai. Skaityti daugiau
Matematinė ekskursija po Kuršių NerijąMatematika, uždavinys
(7 puslapiai)
Matematikos užduotys su sprendimais. 1. Kuršių nerija – Kuršių marių ir Baltijos jūros skalaujamas 97 km ilgio, siauras – nuo 400 m iki 4 km pločio – smėlio pusiasalis. Lietuvai priklauso 54 km ilgio šiaurinė pusiasalio dalis; tos dalies plotas yra 94,4 km2. Apskaičiuokite Lietuvai priklausantį Kuršių nerijos plotą hektarais. 2. 56 % Lietuvai priklausančio Kuršių Nerijos ploto sudaro draustinių teritorija, 23% - rekreacinė zona, 21% - rezervatinė zona. Kiek hektarų užima Kuršių nerijos draustinių teritorija, reakcinė ir rezervacinė zonos? (Pasinaudokite 1užduoties atsakymu.) Kiek hektarų užima Kuršių nerijos draustinių teritorija? 3. Apytiksliai 6852 ha Lietuvai priklausančios Kuršių nerijos teritorijos užima miškai. 16% miškų yra beržynai, 3%- juodalksnynai,1%- eglynai, likę miškai - tai pušynai, iš kurių 38% sudaro kalninės pušys. Kiek hektarų užima kalninės pušys? Kiek procentų visų miškų užima pušynai? 4. Apskaičiuokite Kuršių marių plotą ir jų vandenų tūrį, jei žinoma, kad marių plotas sudaro apie dalį Baltijos jūros ploto, o vandens tūris sudaro apie dalį Baltijos jūros vandens tūrio. Baltijos jūros plotas yra 386000 km2, o jos vandenų tūris yra 33000 km3. 5. Lietuvai ir Rusijai priklausančių Kuršių marių plotų santykis yra 23:65. Koks Kuršių marių plotas priklauso Lietuvai? (Pasinaudokite 4 užduoties atsakymu.) Koks Kuršių marių plotas priklauso Lietuvai? 6. Per metus visos Kuršių marių baseino upės ir upeliai į marias atplukdo vidutiniškai 1,5 karto daugiau vandens, negu jo prisirenka iš kritulių. Be to, šis kiekis yra 18,1 km3 didesnis už kiekį vandens, per Klaipėdos sąsiaurį pritekančio į marias iš jūros ir lygų 5 km3. a) Kiek kubinių kilometrų vandens per metus į marias prisirenka iš kritulių? b) Kiek kubinių kilometrų vandens per metus į marias atplukdo Kuršių marių baseino upės ir upeliai? 7. Kuršių marių vandens druskingumas yra 0,3 promilės. Kiek tonų druskos yra Kuršių mariose?( Pasinaudokite 4 užduoties atsakymu.) 8. Lietuvai priklausančioje Kuršių marių dalyje per metus leidžiama sužvejoti apytiksliai 35kg/ha žuvų. Kiek tonų žuvų čia leidžiama sužvejoti per metus?(Pasinaudokite 5 užduoties atsakymu). 9. Naudodamiesi žemėlapiu, apskaičiuokite Neringos miesto centrinės gatvės ilgį. 10. Užrašykite 1868 m. iškasto gintaro kiekį standartinės išraiškos skaičiumi. 11. Atstumas tarp Smiltynės ir Juodkrantės yra 6 km ilgesnis, negu atstumas tarp Juodkrantės ir Pervalkos. Koks yra atstumas tarp Juodkrantės ir Pervalkos, jeigu tarp Smiltynės ir Pervalkos yra 36 km? 12. Atstumas tarp Nidos ir Preilos yra 10 km, t.y. 20 % didesnis už atstumą tarp Preilos ir Pervalkos. Koks atstumas tarp Nidos ir Pervalkos? 13. Nubraižykite visų paminėtų kopų aukščio stulpelinę diagramą. Skaityti daugiau
Matematinė logikaMatematika, konspektas
(15 puslapių)
Teiginių logika. Teiginiai ir loginės operacijos. Skliaustų rašymo taisyklės. Formulių ekvivalentiškumas. Teisingumo funkcijos. Svarbiausios tapačiai teisingų formulių savybės. Teisingumo funkcijų tobulosios ir normaliosios formulės. Pilnosios teisingumo funkcijų sistemos. Implikacijos ir ekvivalencijos savybės. Dualių formulių savybės. Sutrumpintos teisingumo lentelės. Pagrindinės išplaukimo taisyklės. Teiginių logikos taikymas natūraliai kalbai. Natūralios kalbos sakinių užrašymas matematinės logikos kalba. Samprotavimų analizė teiginių logikos metodais. Skaityti daugiau
Matematinė programinė įrangaMatematika, laboratorinis darbas
(3 puslapiai)
Laboratorinis darbas — kaip galima skaičiuoti matematines išraiškas Derive, Maple, Mathcadu ir Mathematica paketais. Išvados. Skaityti daugiau
Matematinė programinė įranga (2)Matematika, laboratorinis darbas
(4 puslapiai)
Darbas su programa MATCHADE. Paskaičiuotos funkcijos pirmos ir antros eilės išvestinės. Nubrėžtos funkcijos, jos pirmos eilės ir antros eilės išvestinių grafikai. Apskaičiuotas funkcijos neapibrėžtinis integralas ir apibrėžtinis, pasirinktuose rėžiuose. Darbas su programa MAPLE. Paskaičiuotos funkcijos pirmos ir antros eilės išvestinės. Nubrėžtos funkcijos, jos pirmos eilės ir antros eilės išvestinių grafikai. Apskaičiuotas funkcijos neapibrėžtinis integralas ir apibrėžtinis, pasirinktuose rėžiuose. Darbas su programa MATCHEMATICA. Paskaičiuotos funkcijos pirmos ir antros eilės išvestinės. Nubrėžtos funkcijos, jos pirmos eilės ir antros eilės išvestinių grafikai. Apskaičiuotas funkcijos neapibrėžtinis integralas ir apibrėžtinis, pasirinktuose rėžiuose. Darbas su programa DERIVE. Paskaičiuotos funkcijos pirmos ir antros eilės išvestinės. Nubrėžtos funkcijos, jos pirmos eilės ir antros eilės išvestinių grafikai. Paskaičiuotas funkcijos neapibrėžtinis integralas ir apibrėžtinis, pasirinktuose rėžiuose. Skaityti daugiau
Matematinė statistika (12)Matematika, namų darbas
(11 puslapių)
Excel byla. Pagal duomenis apie 22 ūkio išaugintą bulvių derlių, primelžto pieno kiekį ir šių produktų gamybos tiesiogines darbo sąnaudas. Nustatyti: kaip pakito darbo našumas gaminant pavienius produktus kiekvienais metais, lyginant su 2001 metais; kaip pakito darbo našumas analizuojamais laikotarpiais abiejų produktų gamyboje kartu paėmus. Apskaičiuoti absoliutines darbo sąnaudų pakitimo sumas, susidariusias dėl darbo našumo pasikeitimo. Struktūrinio grupavimo būdu parodyti N apskrities respondentinių ūkininkų ūkių (14-53) pasiskirstymą pagal ūkininkų laikomų galvijų skaičių. Apskaičiuoti kiekvienos grupės ūkininkų ūkių skaičiaus absoliutinius ir santykinius dažnius bei galvijų skaičių tenkantį vienam ūkininko ūkiui. Gausą pasiskirstymo eilutę pavaizduoti lentele ir grafiškai (histograma) bei padaryti išvadas. Pagal pateiktus duomenis apskaičiuoti 2 ūkio rapsų faktinio derlingumo bazinius ir grandininius dinamikos santykinius dydžius. Gautus rezultatus surašyti į lentelę ir sudaryti linijinę (stulpelinę) diagramą, vaizduojančią rapsų kitimą analizuojamu laikotarpiu. Apibendrinti gautus rezultatus. Pagal duomenis apie 27 bendrovės darbuotojų skaičiaus kaitą 2004m. Apskaičiuoti šios AB darbuotojų skaičiaus vidurkį sausio (balandžio, rugpjūčio, gruodžio ) mėnesį. Pagal duotus duomenis apie 6 apskrities namų ūkių vidutines disponuojamas pajamas ir vartojimo išlaidas 2003 metų. Mechaninės ranžiruotės atrankos būdu parinkti 10 namų ūkių ir: nustatyti piniginių (natūrinių) išlaidų maisto produktams priklausomybę nuo disponuojamų pajamų. Paaiškinti regresijos koeficientų prasmę. Apskaičiuoti teorines (hipotetines) piniginių (natūrinių) išlaidų maisto produktams reikšmes. Apskaičiuoti porinės koreliacijos koeficientą. Apskaičiuoti aproksimacijos paklaidą. Padaryti išvadas apie vartojimo išlaidų priklausomybę nuo disponuojamų pajamų, ryšių glaudumą ir jų patikimumą. Pagal 5,16 lentelės duomenis apie pagrindinių žemės ūkio produktų gamybą ir suvartojimą skaičiuojant vienam Lietuvos gyventojui 1990 - 2002 metais, apskaičiuoti bulvių gamybos grandininius dinamikos analitinius rodiklius ir jų vidurkius. Apskaičiuotus rodiklius surašyti į suvestinę lentelę ir padaryti išvadas. Skaityti daugiau
