Tiesinė algebra. Vektorinės algebros ir analizinės geometrijos elementaiMatematika, uždavinys
(10 puslapių)
9 Užduotis. Apskaičiuoti determinantą. Apskaičiuoti. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą. Kramerio formule ir atvirkštines matricos metodu. Kramerio Budu. Atvirkštinės matricos būdu. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu. Kokiomis reikšmėmis vektoriai yra statmeni? Parašyti tiesės kanonines lygtis. Parašyti lygtį apskritimo, jei jis eina per tašką A (5; 1), o centras yra taške (2; 3). Hiperbolės lygtis. Parašykite jos asimptočių lygtis ir apskaičiuokite ekscentricitetą. Skaityti daugiau
Tiesinio programavimo apribojimų sistemos suvedimas į vienetinę bazę Gauso ir Žordano metoduMatematika, uždavinys
(4 puslapiai)
Darbo užduotis: Savarankiško darbo uždavinį išspręsti simplekso metodu. Tiesinio programavimo apribojimų sistemos suvedimas į vienetinę bazę Gauso ir Žordano metodu. Skaityti daugiau
Tiesinio programavimo transporto uždavinysMatematika, namų darbas
(3 puslapiai)
Kasdien 2 bandelių kepimo įmonės į reisą išleidžia 75 vienodus bandelių išvežiojimo automobilius. Marytės bandelių kepimo įmonė išleidžia 30, o Petriuko duonelių kepimo įmonė – 45 duonelių išvežiojimo automobilius. Visi įmonių bandelių pristatymo automobiliai siunčiami į 3 šviežių duonos ir pyrago gaminių parduotuves: Rimutės gardėsiai, Birutės pyragai, Stasio švieži gaminiai, kuriems atitinkamai reikia 15, 35 ir 25 duonos ir pyrago gaminius gabenančių automobilių siuntos. Atstumai (km) nuo bandelių kepimo įmonių ir gaminių parduotuvių pateikti lentelėje. Reikia sudaryti tokį bandelių išvežiojimo automobiliais planą, kad bandelių išvežiojimo reiso į gaminių parduotuves rida būtų mažiausia. Išvados. Skaityti daugiau
Tiesinio programavimo uždavinio apribojimo sistemos suvedimas į vienetinę bazę Gauso, Žordano metodu. Perėjimas į kitą bazęMatematika, namų darbas
(5 puslapiai)
Užduotis: Suvesti sistemą į vienetinę bazę atžvilgiu nurodytu kintamųjų XB ir išspręsti sistemą, atžvilgiu šių kintamųjų. Pereiti į naują bazę XB1 pakeičiant vieną iš bazinių kintamųjų laisvu kintamuoju ir išspręsti sistemą šių kintamųjų atžvilgiu. Pasirinkus bet kurias laisvųjų kintamųjų reikšmes, apskaičiuoti vienos sistemos sprendinį ir patikrinti įstačius į pradinę sistemą. Sprendimas. Skaityti daugiau
Tiesinio programavimo uždavinio grafinis sprendimasMatematika, namų darbas
(5 puslapiai)
Užduotis: Firma gamina dvejų rūšių gaminius (be galo dalius) iš 4 tipų žaliavų. Žaliavos sunaudojimas atskirų rūšių vienam gaminiui pagaminti nurodytas matricoje A, žaliavų resursai nurodyti matricoje b. Pelnas pardavus vieną tam tikros rūšies gaminį nurodytas matricoje c. Sudaryti optimalų gamybos planą, apskaičiuoti maksimalų pelną. Sprendimas. Skaityti daugiau
Tiesinių lygčių sistemų sprendimas iteraciniais metodaisMatematika, laboratorinis darbas
(5 puslapiai)
Tiesinių lygčių sprendimas Jakobio ir didžiausio nuolydžio metodais. Programos kodas. Jakobio metodas. Didžiausio nuolydžio metodas. Tikslusis matricos A sprendinys (gautas naudojant Maple programą). Skaityti daugiau
Tiesinių lygčių su moduliu sprendimasMatematika, pristatymas
(17 skaidrių)
PowerPoint pristatymas. Modulis. Tiesinių lygčių su modulių rūšys. Tiesinės lygtys su moduliu. Pavyzdžiai: |x + 4|= 7. |5x- 2|= |4x+ 2|. |5x-10|-5 =20x. |10x- 10|+|5x-20|= 30. |4- x|- x= |2x- 2|- 2. Uždaviniai savarankiškam darbui. Išvados. Skaityti daugiau
Tikimybių skaičiavimas naudojat "Maple" (2)Matematika, laboratorinis darbas
(4 puslapiai)
Kompiuterinės algebros paketo "Maple" taikymas tikimybių teorijos skaičiavimuose. Tikslas: išmokti nustatyti sąryšį tarp atsitiktinių dydžių, atlikti duomenų regresinę analizę pasinaudojant kompiuterinės algebros paketu Maple. Užduotys. Darbo rezultatas. Skaityti daugiau
PowerPoint pristatymas. Bandymas arba eksperimentas. Įvykis. Atsitiktinis įvykis. Būtinas įvykis. Negalimas įvykis. Elementarusis įvykis. Veiksmai su įvykiais. Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Skaityti daugiau
Tikimybių teorija (13)Matematika, pristatymas
(98 skaidrės)
PowerPoint pristatymas-konspektas. Atsitiktiniai įvykiai, jų veiksmai. Įvykių veiksmai. Veiksmų su įvykiais savybės. Įvykio tikimybės sąvoka. Statistinis tikimybės apibrėžimas. Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Kombinatorikos formulės. Geometrinis tikimybės apibrėžimas. Apibendrintas tikimybės apibrėžimas. Pagrindinės teoremos. Teorema. Išvada. Teorema (Apibendrinta sumos teorema). Išvada. Pavyzdys. Teorema. Sąlyginė tikimybės. Teorema (apibendrinta sandaugos teorema). Teorema (pilnosios tikimybės formulė). Teorema (Bajeso formulė). Nepriklausomų įvykių schema. Teorema (Bernulio dėsnis). Atsitiktiniai dydžiai. Diskretieji ir tolydieji atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinų dydžių veiksmai. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo charakteristikos. Pasiskirstymo funkcija. Pasiskirstymo funkcijos savybės. Pasiskirstymo tankis. Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos. Vidurkis, Vidurkio savybės. Moda. Mediana. Kvantiliai. Dispersija. Dispersijos savybės. Kitos sklaidos charakteristika. Pradiniai ir centriniai momentai. Asimetrijos koeficientas. Ekscesas. Koreliacijos koeficientas. Pagrindiniai atsitiktinių dydžių skirstiniai. Diskretieji skirstiniai. Binominis skirstinys. Puasono skirstinys. Tolydieji skirstiniai. Tolygusis skirstinys. Normalusis (Gauso) skirstinys. Skirstiniai susiję su normaliuoju skirstiniu. Stjudento t skirstinys. Fišerio F skirstinys. Skaityti daugiau
Tikimybių teorija (14)Matematika, namų darbas
(13 puslapių)
Savo pavardės raides atsitiktinai sudėkite į eilę. Kokia tikimybė, kad gausite savo pavardę? Sprendimas. Viso raidžių 8. Išspręskite: n žmonių atsitiktinai sodinami už apvalaus stalo. Apskaičiuokite tikimybę, kad du žmonės A ir B atsisės greta. Sprendimas. Atkarpoje, kurios ilgis m, atsitiktinai žymime tašką. Kokia tikimybė, kad šio taško atstumas iki atkarpos galų bus didesnis už ? Sprendimas. Ryšio kanalu nepriklausomai vienas nuo kito siunčiami trys signalai. Jų teisingumo (be klaidų) priėmimo tikimybės yra p1 = 0,65, p2 = 0,70 ir p3 = 0,70. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes. Sprendimas. Pirmoje urnoje yra m1 = 1 baltų ir n1 = 2 juodų, antroje – m2 = 3 baltų ir n2 = 1 juodų, o trečioje – m3 = 2 baltų ir n3 = 2 juodų rutulių. Iš pirmos urnos traukiame k1 = 1, o iš antros – k2 = 2 rutulių ir dedame į trečią urną, o po to iš trečiosios urnos traukiame vieną rutulį. Kokia tikimybė, kad jis bus baltas? Sprendimas. Du žaidėjai vienas po kito (A – pirmas, B – antras) traukia po vieną rutulį (grąžinamoji imtis) iš urnos, kurioje yra m = 2 baltų ir n = 1 juodų rutulių. Laimi tas, kuris pirmas ištraukia baltą rutulį. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes. Palyginkite žaidėjų A ir B laimėjimų galimybes, kai žaidimas begalinis. Sprendimas. Radijo aparatūra sudaryta iš n=400 elektroelementų. Vieno elemento sutrikimo per metus tikimybė lygi p = 0,01 ir nepriklauso nuo kitų elementų būsenos. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes: a) per metus sutriko m = 2 elementų, b) per metus sutriko ne mažiau kaip m = 2 elementų. Sprendimas. Atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį pasiskirstymo dėsnį, o jo parametrai yra m ir s. Apskaičiuokite tikimybes P(a £ X £ b), P(|X| > b). Užrašykite 2s taisyklę ir paaiškinkite jos geometrinę ir praktinę prasmes. Čia: m = 4, s = 1, a = 3, b = 5. Sprendimas. Parinkite parametrą g tokį, kad p(x) būtų tankio funkcija (grafikas). Užrašykite pasiskirstymo funkcijos analizinę išrašką, nubraižykite jos grafiką. Apskaičiuokite vidurkį, dispersiją ir tikimybę. Sprendimas. Atsitiktini dydžio X tankis yra px(x). Užrašykite dydžio Y pasiskirstymo funkciją Fy(y), tankį py(y) ir apskaičiuokite vidurkį MY, jei Y – lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė X, plotas. Atsitiktinio dydžio X tankis apibrėžtas 12 užduotyje. Apskaičiuokite dydžio Y vidurkį ir dispersiją Duota seka nepriklausomų atsitiktinių dydžių X1, X2, Xk. Dydis Xk su vienodomis tikimybėmis gali įgyti tik dvi reikšmes ka arba -ka. Ar galioja šiai sekai didžiųjų skaičių dėsnis, kai parametras a = a1, a2? Jeigu galioja, užrašykite jį. Čia a1 = -7,5, a2 = 0,07. Sprendimas. Užrašykite imties dažnį ir santykinių dažnių pasiskirstymo eilutes. Apskaičiuokite skaitines imties charakteristikas. Nubrėžkite empirinės pasiskirstymo funkcijos ir santykinių dažnių histogramos grafikus. Atsižvelgdami į santykinių dažnių histogramos formą ir skaitines imties charakteristikas, iškelkite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo hipotezę. Raskite taškinius pasiskirstymo dėsnio parametrų įverčius (momentų arba maksimalaus tikėtinumo metodais). Pasinaudodami c2 arba Kolmogorovo suderinamumo kriterijais, patikrinkite neparametrinę empirinės pasiskirstymo funkcijos suderinamumo su teorine hipotezę. Paaiškinkite gautus rezultatus. Užrašykite generalinės aibės pasiskirstymo ir tankio funkcijų išraiškas. Sprendimas. Skaityti daugiau
Tikimybių teorija (6)Matematika, pristatymas
(25 skaidrės)
PowerPoint pristatymas. Bandymas arba eksperimentas. Įvykis. Atsitiktinis įvykis. Negalimas įvykis. Elementarusis įvykis. Veiksmai su įvykiais. Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Skaityti daugiau
Tikimybių teorija (7)Matematika, špera
(7 puslapiai)
Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas. Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Kombinatorikos elementai. Geometrinis tikimybės apibrėžimas. Pagrindinės tikimybių savybės. Apibendrinimas bet kuriam baigtiniam skaičiui. Įvykio sąlyginė tikimybė. Įvykių sankirtos (sandaugos) tikimybė. Priklausomi ir nepriklausomi įvykiai. Pilnosios tikimybės formulė. Bajeso formulė. Nepriklausomi eksperimentai. Bernulio formulė. Bernulio formulės apibendrinimas. Puasono aproksimacija. Muavro ir Laplaso transformacija (lokaline f). Atsitiktiniai dydžiai. Pasiskirstymo funkcijos savybės. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai. Tolydieji pasiskirstymo dėsniai. Tankio funkcijos savybės. Pasiskirstymo funkcijos reikšmės konkrečiame taške prasmė. Tolygusis pasiskirstymo dėsnis. Eksponentinis pasiskirstymo dėsnis. Daugiamačiai atsitiktiniai dydžiai. Sąlyginiai pasiskirstymo dėsniai. Sąlyginiai pasiskirstymo dėsniai tolydiesiems dydžiams. Nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai. Atsitiktinių dydžiu funkcijos. Skaityti daugiau
1. Dėžėje yra 20 elektros lempučių, iš kurių 5 nestandartinės. Iš dėžės atsitiktinai imamos viena po kitos 4 lemputės, negrąžinant atgal. Raskite tikimybę, kad visos 4 lemputės bus: a) standartinės; b) nestandartinės. 2. Nustatyta, kad vidutiniškai 10% gaminamų gelžbetoninių blokų yra brokuoti. Apskaičiuokite tikimybę, kad patikrinę 500 blokų, rasime k brokuotų, kai: a) k=50; b) 50≤k≤60. 3. Diskrečiųjų atsitiktinių dydžių ζ ir η tikimybių skirstiniai pateikti lentelėmis. Sudarykite atsitiktinio dydžio ζ+η tikimybių skirstinį lentelės pavidalo ir patikrinkite lygybių teisingumą. 4. Raskite diskrečiojo atsitiktinio dydžio ζ įgyjančio dvi sveikas reikšmes x1 ir x2 (x1<x2) skirstinį, išreikštą lentele, kai duota vidurkis Mζ, dispersija Dζ ir reikšmės x1 įgijimo tikimybė p1. 5. Vienodo pajėgumo n brigadų atlieka montavimo darbus. Kiekviena brigade nepriklausomai nuo kitų, dienos užduotį įvykdo su tikimybe p. atsitiktinis dydis ζ – brigadų, įvykdžiusių dienos užduotį, skaičius. Raskite atsitiktinio dydžio ζ skirstinį, pasiskirstymo funkciją F(x), nubrėžkite F(x) grafiką, apskaičiuokite standartinį nuokrypį σζ. 6. Duota tolydžiojo atsitiktinio dydžio ζ pasiskirstymo funkcija. Raskite atsitiktinio dydžio ζ tikimybių tankio funkciją p(x), apskaičiuokite vidurkį Mζ, dispersiją Dζ ir tikimybę, kad atsitiktinis dydis ζ įgis reikšmes iš intervalo (0;α). 7. Duota funkcija p(x,a). Raskite tokią parametro a reikšmę, kad funkcija p(x;a) tenkintų atsitiktinio dydžio ζ tikimybių tankio funkcijos savybes. Raskite atsitiktinio dydžio ζ pasiskirstymo funkciją F(x) ir apskaičiuokite tikimybę P(ζ<a). 8. Atsitiktinis dydis ζ yra pasiskirstęs pagal normalųjį dėsnį su parametrais m ir σ. Raskite intervalą į kurį su tikimybe 0,997 paklius šio atsitiktinio dydžio reikšmės, apskaičiuokite tikimybę P(α<ζ<β). Skaityti daugiau
Triįstrižainių lygčių sprendimas ir aproksimacija splainaisMatematika, laboratorinis darbas
(6 puslapiai)
Programos kodas: Triįstrižainės sistemos sprendimas perkelties metodu. Kubinis splainas. Grafikų sudarymas su Maple. Skaityti daugiau
Turto draudimo matematikos teorija verslo sistemose. Bonus-malus sistemos sukūrimasMatematika, namų darbas
(3 puslapiai)
Sudaryti perėjimo matricą, kai duota 7 klasės ir nemažiau 4 avarijų. Pagal perėjimo matricą sudaryti Bonus-malus sistemą, t.y. iš kurios klasės į kurią. Parodyti, kaip pasiskirsto vairuotojai po klases nusistovėjus nagrinėjamai Bonus-malus sistemai, kai N=150000. Parodyti, kaip pasiskirsto vairuotojai po klases metų bėgyje. Apskaičiuoti metines įmokų sumas, kai pradinė įmoka 240Lt ,o per vieną klasę įmoka sumažėja 17% nuo pradinės įmokos vienodai visoms klasėms. Skaičiuoti keturių ženklų po kablelio tikslumu, sutarčių skaičių apvalinti. Skaityti daugiau
Turto draudimo matematinė teorijaMatematika, namų darbas
(2 puslapiai)
Užduotis. Sprendimas. Bonus – Malus sistemos taikymas. Skaityti daugiau
Veiksmai su matricomisMatematika, uždavinys
(8 puslapiai)
Veiksmai su matricomis. Sudėtis. Atimtis. Daugyba. Atvirkštinė matrica. Ketvirtos eilės determinantas stulpeliu. Lygčių sistemos. Kramerio metodu. Gauso metodu. Atvirkštinės matricos metodu. Atvirkštinės matricos elementariu pertvarkymo metodu. Ekonominės sistemos balanso matematiniu metodu. Gamybinių sąnaudų matrica. Optimizavimo uždavinys esant 5 apribojimams. Transporto uždavinys: 6 sandėliai ir 5 užsakovai. Sandėliai. Pasiskirstymų punktai. Skaityti daugiau
