Matematika (329 darbai)

Duota funkcija. Rasti: ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką. Sprendimas. Randame funkcijos ribas trūkio taške iš dešinės ir kairės. Randame funkcijos ribas apibrėžimo srities galuose. Ištiriame funkcijos lyginumą. Randame funkcijos išvestinę ir ekstremumo taškus. Randame funkcijos minimumą. Ieškome iškilumo intervalų ir persilenkimo taškų. Randame asimptotes. Funkcijos grafikas.

Aibių galia. Aibių atvaizdis. Ekvivalenčios aibės. Aibės galia. Baigtinės ir skaičiosios aibės. Kontinuumo galios aibės. Metrinės ir topologinės erdvės. Hiolderio ir Minkovskio nelygybės. Metrinės erdvės. Metrinės erdvės poaibių klasifikacija. Kompaktinės aibės. Konvergavimas metrinėse erdvėse. Sutraukiantys atvaizdžiai. Banacho teorema apie nejudamąjį tašką. Pavyzdžiai. Taškų aibės skaičių tiesėje. Uždarųjų ir atvirųjų aibių struktūra. Mačios aibės. Aibių algebra. Aibės matas. Matas skaičių tiesėje. Mačiosios funkcijos. Pagrindinės sąvokos. Mačiųjų funkcijų savybės. Mačių funkcijų konvergavimas. Lebego integralas. Paprastųjų funkcijų savybės. Lebego integralo apibrėžimas. Lebego integralo savybės. Lebego ir Rymano integralų ryšys skaičių tiesėje. Tiesinės normuotos erdvės. Tiesinės erdvės sąvoka. Iškilos aibės ir pusnormės. Normuotos erdvės. Euklido ir unitariosios erdvės. Charakteringoji euklidinių erdvių savybė. Hilberto erdvės. Tiesiniai operatoriai. Tiesinių operatorių erdvė. Tiesiniai aprėžti operatoriai Banacho erdvėse. Operatorių Banacho erdvės. Jungtinė erdvė. Tiesiniai funkcionalai Hilberto erdvėje. Hano – Banacho teoremos apie tiesinių funkcionalų tęsinius. Jungtiniai operatoriai. Banacho erdvės jungtiniai operatoriai. Hilberto erdvių jungtiniai ir savijungiai operatoriai. Funkcinės analizės kontrolinis darbas.

Įvadas. Sprendinių stabilumo sąvoka pagal A. M. Liapunovą. Sprendinių diferencijavimas parametru ir pagal pradines reikšmes. A stabilumas. Eulerio metodo stabilumo sritis. Asimptotinis stabilumas. Rungės ir Kuto metodų stabilumas. Išvados.

PowerPoint pristatymas. Grafai. Oilerio teoremos. Flerio algoritmas Oilerio ciklui rasti. Flerio algoritmas Oilerio keliui rasti. Keliaujančio pirklio uždavinys. Dirako teorema. KPU sprendimo jėgos algoritmas. Artimiausiojo kaimyno algoritmas. Kartotinis artimiausiojo kaimyno algoritmas. Pigiausios jungties algoritmas. Jungiantieji medžiai ir Šteinerio medžiai. Medžių savybės. Kruskalo algoritmas MJM radimui. Kaip rasti tris taškus jungiantį trumpiausią tinklą? Toričelio procedūra (Šteinerio taško trikampio viduje radimas). Įrodymas.

Įvadas. Grafas. Grafų izomorfizmas. Žymėtieji grafai. Žymėtųjų grafų skaičius. Izomorfinių grafų skaičius. Grafų izomorfizmo nustatymo uždavinys. Pavyzdžiai. Papildomi izomorfinių grafų pavyzdžiai. Neizomorfinių grafų pavyzdžiai. Sąvokų paaiškinimas.

Įvadas. Tikslas - apžvelgti populiarią grafų teorijos sritį – medžių teoriją. Medžiai. Medžių savybės. Įrodymas. G – jungusis ir neturi ciklų. G – jungusis ir m=n–1. G – neturi ciklų ir m=n–1. G – neturi ciklų, tačiau įvedus naują briauną, jungiančią bet kokias dvi negretimas medžio viršūnes, atsiranda vienintelis ciklas. G – yra jungusis, tačiau praranda šią savybę, pašalinus bet kurią briauną. Bet kuri viršūnių pora, sujungta grandine yra tiktai viena. Uždaviniai. Jei grafas G jungus, tai bc - (G) – medis. Grafas bc (G) vadinamas dviryšio grafo G – bc medžiu. Visame 3 – jungiamajame grafe G yra tokia briauna uv, jog grafas Guv neturi sąlyčio taškų.

Teorija. Grandininių trupmenų metodas. Dalinių trupmenų sudarymo dėsnis. Dalinės trupmenos. Skaičiavimo iš apačios metodas. Skaičiavimo iš viršaus metodas. Teikrou metodas. Argumento redukcija. Funkcijos grafikas. Programos ir jų aprašymai. Pagalbinė programa. Konstantos ir kintamieji. Programos langas ir aprašymas. Programos tekstas. Pagrindinė programa. Konstantos. Programos langas ir aprašymas. Programos tekstas. Duomenys ir rezultatai.

Neapibrėžtinio integralo sąvoka. Tiesioginis integravimas. Kintamojo keitimo metodas. Integravimo dalimis metodas. Funkcijų, kurių yra kvadratinis trinaris, integravimas. Racionaliųjų trupmenų integravimas. Iracionaliųjų funkcijų integravimas. Kvadratinių iracionalumų integravimas, naudojantis Oilerio keitiniais. Trigonometrinių funkcijų integravimas. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo sąvoka. Apibrėžtinio integralo savybės. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu. Niutono ir Leibnico formulė. Netiesioginiai integralai su begaliniais integravimo rėžiais.

Uždaviniai su sprendimais. Apskaičiuoti neapibrėžtinius integralus. Apskaičiuoti apibrėžtinius integralus. Apskaičiuoti netiesioginius integralus arba įrodyti, kad jie diverguoja. Su apibrėžtiniu integralu rasti plotą srities, apribotos duotomis kreivėmis.

Uždavinys: apskaičiuoti integralą Simpsono metodu. Simpsono formulė. Apskaičiuojame paklaidą, taikydami Rungės taisyklę. Susirandame reikšmes reikalingas skaičiavimams. Atsakymas į klausimą. Programos kodas (programa skaičiuoja integralo reikšmę suvedus skaičių ir kitimo žingsnį dalinimui.

Darbe pristatomas Monte Karlo integravimo metodas. Metodo algoritmas vienmačio integralo atveju. Pateikiami 6 pavyzdžiai: Monte Karlo metodu apskaičiuosime integralą. Monte Karlo metodu apskaičiuosim integralą. Monte Karlo metodu apskaičiuosim netiesioginį integralą. Monte Karlo metodu apskaičiuosim dvimatį integralą. Monte Karlo metodu apskaičiuosim daugiamatį integralą.

Excel byla. Laipsnis. Standartinė skaičiaus išraiška. Dviejų narių sumos kvadrato formulė. Pitagoro teorema. 20 klausimų matematikos kryžiažodis. Piramidė. Sukiniai.

PowerPoint pristatymas. Interpoliavimas. Principai. Interpoliavimo schemos. Globalios ir lokalios interpoliavimo schemos. Tyseno poligonai. Polinominė interpoliacija. Interpoliavimas atskirose zonose. Tiesinė interpoliacija. Kubinė (3-čio laipsnio polinomo) interpoliacija. Slenkantis vidurkis. Slenkantis svertinis vidurkis, atvirkščiai proporcingo atstumo schemos. Statistiniai interpoliavimo metodai. Erdvinė koreliacija. KRIGING interpoliavimas.

Užduotys: Panaudojant realias akcijų kainas, sudaryti investicijų portfelį ir nubrėžti grafiką. Panaudojant realias akcijų kainas, sudaryti optimalų investicinį portfelį. Išvados.

Surasti 3 akcijų, 3 mėnesių kiekvienos dienos uždarymo kainas. Suskaičiuoti kiekvienos akcijos kiekvienos dienos grąžos normas. Apskaičiuosime kiekvienos akcijos vidurkį, dispersiją, vidutinį kvadratinį nuokrypį ir koreliacijos koeficientus tarp 2 akcijų, pagal formules. Iš 2 akcijų, kurių koreliacijos koeficientas mažiausias, sudaryti keletą portfelių tokių būdu. Sudarom naują portfelį su tomis pačiomis 2 akcijomis, iš tos aibės parenkame liečiamąjį portfelį R¬f= 4%. Surandam liečiamąjį portfelį ir su juo sudarom naujus portfelius.

PowerPoint pristatymas. Parduotuvės darbuotojai. Išlaidos parduotuvės išlaikymui. Įplaukos. Išlaidos prekėms. Pelnas.

Trijų išvestinių tyrimas. Pirma funkcija. Grafikas. Antra funkcija. Grafikas. Trečia funkcija. Grafikas.

Projektinis statistikos darbas: apklaustos 2 gimnazijos klasės. Variacinės eilutės. Dažnių eilutės. Dispersijos. Kvadratiniai nuokrypiai. Vertinimas. Išvados.

Hioderio nelygybė. Jenseno nelygybė. Levi formulė. Įrodymas. Lemos. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų koncentracijos funkcijose nelygybės. Kolmogorovo-Ragozino nelygybė. Įrodymas.

Uždavinys. Duota dvimatė imtis, kurios duomenys sugrupuoti į koreliacinę lentelę: Užrašykite komponenčių X ir Y statistinius skirstinius. Užrašykite komponentės Y sąlyginius statistinius skirstinius, apskaičiuokite Y empirinius sąlyginius vidurkius, užrašykite Y regresijos X atžvilgiu taškus ir, atidėję juos grafiškai, nustatykite statistinio ryšio formą. Sąlyginių reikšmių (sandaugų) metodu apskaičiuokite komponenčių empirinius vidurkius, empirinius standartus, empirines kovariacijas ir empirinį koreliacijos koeficientą. Esant tiesiniam statistiniam komponenčių ryšiui, užrašykite Y empirinę tiesinės regresijos X atžvilgiu lygtį y = kx + b pavidalu. Nubrėžkite šią tiesę tame pačiame brėžinyje, kuriame atidėti empirinės regresijos taškai. Sprendimas.